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Bulletin de la SMF - Parutions - 125 - pages 383-445

Parutions125

Chaînes holomorphes de bord donné dans $
\mathbb {CP}
^n$
Pierre Dolbeault - Gennadi Henkin
Bulletin de la Société mathématique de France 125, fascicule 3 (1997), 383-445
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Résumé :
Dans l'espace projectif $
\mathbb {CP}
^n$, ou plus généralement, dans un domaine linéairement q-concave X de $
\mathbb {CP}
^n$, on considère le problème suivant: trouver une p-chaîne holomorphe dans X, de bord une sous-variété M donnée de X, fermée, orientée, de dimension (2p-1). On utilise les sous-espaces projectifs P de dimension n-p+1 contenus dans X. Théorème I. -- Les deux conditions suivantes sont équivalentes: (i) M est le bord d'une p-chaîne holomorphe de X, de masse localement finie; (ii) M est maximalement complexe, de volume localement fini et, pour tout P contenu dans X et assez voisin d'un sous-espace donné, $M\cap P$ est une courbe de P, bord d'une 1-chaîne holomorphe de masse finie. Le théorème I se déduit du théorème II donnant une condition, généralisant la condition des moments d'Harvey-Lawson sur M, pour que M soit le bord d'une chaîne holomorphe, et aussi d'un théorème de compacité du type de Sachs-Uhlenbeck (1981). Le théorème II généralise le résultat obtenu en 1993 pour p=1. Des corollaires redonnent les théorèmes connus dans $
\mathbb {C}
^n$ et $
\mathbb {CP}
^n\smallsetminus 
\mathbb {CP}
^{n-r}$ dus à Wermer, Harvey, Lawson, Chirka et d'autres. On s'est borné au cas où M est de classe C2, éventuellement avec des singularités négligeables.

Abstract:
In the projective space $
\mathbb {CP}
^n$, or more generally, in a q-linear concave domain X of $
\mathbb {CP}
^n$, we consider the following problem: find a holomorphic p-chain in X whose boundary is a given (2p-1)-dimensional oriented closed submanifold M of X. We use (n-p+1)-dimensional subspaces P of $
\mathbb {CP}
^n$ contained in X. Theorem I. - The following two conditions are equivalent: (i) M is the boundary of a holomorphic p-chain of X, of locally finite mass; (ii) M is maximally complex of locally finite volume and, for any P contained in X in a small enough neighborhood of a given subspace, $M\cap P$ is a curve in P bounding a holomorphic 1-chain of finite mass. Theorem I is deduced from theorem II giving a condition generalizing the moment condition of Harvey-Lawson for M, such that M be the boundary of a holomorphic chain, and also from a compactness theorem of the Sachs-Uhlenbeck type (1981). Theorem II generalizes the 1993 result for p=1. Corollaries give the known theorems in $
\mathbb {C}
^n$ and $
\mathbb {CP}
^n\smallsetminus 
\mathbb {CP}
^{n-r}$ found by Wermer, Harvey, Lawson, Chirka and others. We restrict ourselves to M of class C2, possibly with scar sets.

Class. math. : 32 C 30, 49 Q 15


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique