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Bulletin de la SMF - Parutions - 125 - pages 269-311

Parutions125

Sur le temps d'existence pour l'équation de Klein-Gordon semi-linéaire en dimension 1
Jean-Marc Delort
Bulletin de la Société mathématique de France 125, fascicule 2 (1997), 269-311
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Résumé :
De nombreux travaux ont été consacrés à la minoration du temps d'existence de solutions de l'équation de Klein-Gordon nonlinéaire, à données petites, régulières, suffisamment décroissantes à l'infini. Le but de cet article est d'étudier ce problème, en dimension 1 d'espace, lorsque les données sont faiblement décroissantes à l'infini -- ce qui interdit l'utilisation des techniques classiques dans de telles questions -- de taille $\varepsilon \ll 1$. On obtient, pour des nonlinéarités compatibles à l'équation, une minoration du temps d'existence (presque) de l'ordre de $\varepsilon ^{-4}$. La méthode utilisée repose sur l'exploitation de la courbure de la variété caractéristique de l'opérateur au travers d'estimations d'ellipticité 2-microlocale.

Abstract:
Lower bounds for the existence time of solutions to the nonlinear Klein-Gordon equation with small, smooth, Cauchy data are known when these data decay rapidly enough at infinity. The aim of this paper is to study that problem, in one space dimension, for weakly decaying Cauchy data, of size $\varepsilon $. The main result asserts that if the nonlinearity is a combination of null forms, the existence time is (almost) larger than $\varepsilon ^{-4}$. The weak decay of the data prevents one from using classical methods employed to treat such kind of problems. Instead, we exploit the curvature of the characteristic variety of the equation, through the use of 2-microlocal ellipticity.

Class. math. : 35 L 70


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique