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Bulletin de la SMF - Parutions - 125 - pages 167-198

Parutions125

The lattice of integral flows and the lattice of integral cuts on a finite graph
Roland Bacher - Pierre de la Harpe - Tatiana Nagnibeda
Bulletin de la Société mathématique de France 125, fascicule 2 (1997), 167-198
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Résumé :
Les flots entiers sur un graphe fini $\Gamma $ constituent naturellement un réseau entier $\Lambda ^1(\Gamma )$ dans l'espace euclidien $\ker (\Delta _1)$ des fonctions harmoniques à valeurs réelles sur l'ensemble des arêtes de $\Gamma .$ On montre l'équivalence de diverses propriétés de $\Gamma $ (caractère biparti, tour de taille, complexité, séparabilité) avec des propriétés convenables de $\Lambda ^1(\Gamma )$ (parité, norme minimale, déterminant, décomposabilité). Le réseau dual de $\Lambda ^1(\Gamma )$ est identifié à la cohomologie entière $H^1(\Gamma ,
\mathbb {Z}
)$, plongée dans $\ker (\Delta _1)$. On montre des traductions analogues pour le réseau des coupures entières et les propriétés convenables du graphe (caractère eulérien, connectivité d'arêtes, complexité, séparabilité).

Ces réseaux ont un groupe déterminant qui joue pour les graphes le même rôle que la jacobienne pour une surface de Riemann close. Ce sont alors les fonctions harmoniques sur un graphe (à valeurs dans un groupe abélien) qui tiennent lieu d'applications holomorphes.

Abstract:
The set of integral flows on a finite graph $\Gamma $ is naturally an integral lattice $\Lambda ^1(\Gamma )$ in the Euclidean space $\ker (\Delta _1)$ of harmonic real-valued functions on the edge set of $\Gamma $. Various properties of $\Gamma $ (bipartite character, girth, complexity, separability) are shown to correspond to properties of $\Lambda ^1(\Gamma )$ (parity, minimal norm, determinant, decomposability). The dual lattice of $\Lambda ^1(\Gamma )$ is identified to the integral cohomology $H^1(\Gamma ,
\mathbb {Z}
)$ in $\ker (\Delta _1)$. Analogous characterizations are shown to hold for the lattice of integral cuts and appropriate properties of the graph (Eulerian character, edge connectivity, complexity, separability).

These lattices have a determinant group which plays for graphs the same role as Jacobians for closed Riemann surfaces. It is then harmonic functions on a graph (with values in an abelian group) which take place of holomorphic mappings.

Key words: Graph, lattice, combinatorial Laplacian, integral flows, cutsets, Jacobian

Class. math. : 05 C 38, 11 E 39


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique