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Bulletin de la SMF - Parutions - 124 - pages 587-647

Parutions124

Topologie log-syntomique, cohomologie log-cristalline et cohomologie de Cech
Christophe Breuil
Bulletin de la Société mathématique de France 124, fascicule 4 (1996), 587-647
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Résumé :
Soit k un corps parfait de caractéristique p>0. Fontaine et Messing ont calculé la cohomologie cristalline d'un k-schéma comme cohomologie du faisceau $H_{\mathrm {cris}}^0$ sur le site syntomique de $\mathrm {Spec}\, k$ et ont construit, grâce aux vecteurs de Witt, un préfaisceau dont $H_{\mathrm {cris}}^0$ est le faisceau associé sur ce site. Nous construisons un site log-syntomique et proposons des résultats analogues sur le point logarithmique ${(
\mathbb {N}
\to k,1\mapsto 0)}$ pour diverses bases logarithmiques. Ceci nous permet de construire un opérateur de monodromie sur la cohomologie log-cristalline d'un log-schéma quelconque sur le point logarithmique. Nous en déduisons une suite exacte longue de cohomologie. En appendice, nous calculons « à la Cech » , avec des recouvrements syntomiques, la cohomologie cristalline classique de certaines k-algèbres de type fini et nous en donnons un analogue logarithmique.

Mots clefs : Log-structure, morphisme syntomique, cohomologie cristalline, opérateur de monodromie, cohomologie de Cech

Abstract:
Let k be a perfect field of characteristic p>0. Fontaine and Messing have calculated the crystalline cohomology of a k-scheme as the cohomology of the sheaf $H_{\mathrm {cris}}^0$ on the syntomic site of $\mathrm {Spec}\, k$. Using Witt vectors they have constructed a presheaf whose associated sheaf on this site is $H_{\mathrm {cris}}^0$. We build a log-syntomic site and give analogous results on the logarithmic point ${(
\mathbb {N}
\to k,1\mapsto 0)}$ for various logarithmic bases. This allows us to construct a monodromy operator on the log-crystalline cohomology of any log-scheme on the logarithmic point and we deduce then a long exact sequence of cohomology. In appendix, we calculate « à la Cech » the classical crystalline cohomology of some k-algebras of finite type using syntomic coverings. We give also analogous « logarithmic » results.

Class. math. : 11 S 20, 14 F 40, 14 F 30


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique