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Bulletin de la SMF - Parutions - 124 - pages 503-521

Parutions124

Sur des variétés de Moishezon dont le groupe de Picard est de rang un
Laurent Bonavero
Bulletin de la Société mathématique de France 124, fascicule 3 (1996), 503-521
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Résumé :
Dans cet article, nous utilisons la théorie de Mori pour analyser la structure des variétés de Moishezon dont le groupe de Picard est $
\mathbb {Z}
$, dont le fibré canonique est gros et qui deviennent projectives après un éclatement. Dans ce contexte, nous étudions la contraction de Mori sur le modèle projectif, et montrons que le centre de l'éclatement est en général de petite codimension. En dimension 3, le fibré canonique est nef par un résultat de Kollár. Nous montrons que ce résultat devient faux en dimension supérieure ou égale à 4 en construisant explicitement des exemples ; ces derniers fournissent de nouvelles variétés de Moishezon ne satisfaisant pas le critère de Demailly et Siu. En dimension 4, nous prouvons que le centre de l'éclatement est alors une surface, et si le fibré canonique n'est pas nef, nous montrons que notre construction est en un sens la seule possible ; en particulier, le centre de l'éclatement est nécessairement $
\mathbb {P}
 ^2$.

Mots clefs : variété de Moishezon, groupe de Picard, théorie de Mori, fibré canonique gros, éclatement

Abstract:
In this paper, we use Mori theory to analyze the structure of Moishezon manifolds with Picard group equal to $
\mathbb {Z}
$, with big canonical bundle, and which become projective after one blow-up. In this context, we study the Mori contraction on the projective model, and we show that in general the center of the blow-up has « low » codimension. In dimension 3, the canonical bundle is nef by a result of Kollár. We show that this result is no longer true in dimension 4 or larger than 4 by constructing explicitly some examples, which give also new Moishezon manifolds not satisfying the Demailly-Siu criterion. In dimension 4, we show that the center of the blow-up is a surface, and that our construction is the only possible one when the canonical bundle is not nef ; in particular, the center of the blow-up must be $
\mathbb {P}
 ^2$ in this last case.

Class. math. : 32 C 10, 14 J 40, 14 J 05, 32 J 20


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique