Nous étudions dans un cadre abstrait un opérateur dépendant d'un paramètre dont la résolvante peut s'étendre de façon méromorphe à une surface de Riemann au voisinage d'un point de branchement. Nous étudions la dépendance des pôles de la résolvante, ou résonances en fonction du paramètre ; en particulier, nous étudions le cas où une résonance se trouve au point de branchement. Cette étude peut s'appliquer à un opérateur de Schrödinger à potentiel périodique avec une perturbation compacte, le paramètre étant une constante de couplage, et le point de branchement ou seuil, l'extrémité d'une bande de spectre absolument continu.