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Bulletin de la SMF - Parutions - 124 - pages 457-476

Parutions124

Specializations of endomorphism rings of abelian varieties
David W. Masser
Bulletin de la Société mathématique de France 124, fascicule 3 (1996), 457-476
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Résumé :
Soient k un corps de nombres, $\overline {k}$ une clôture algébrique de k, V une variété définie sur k et A une variété abélienne définie sur le corps de fonctions k(V). On montre que, si v appartient à $V(\overline {k})$, l'anneau d'endomorphisme absolu $\mathrm {End} A_v$ de la « fibre » Av est « presque toujours » isomorphe à l'anneau d'endomorphisme absolu $\mathrm {End} A$ ; en fait, « l'ensemble exceptionnel » des v pour lesquels cela n'a pas lieu est « peu dense » . Plus précisément, soient $\varphi $ un plongement projectif de V et $h_\varphi $ la hauteur de Weil logarithmique absolue associée. Il existe alors une constante $\lambda $, ne dépendant que de la dimension de A, et une constante C, ne dépendant que de k, V, A et $\varphi $ satisfaisant à la condition suivante : si d et h sont deux réels $\geq 1$, il existe un polynôme homogène de degré au plus $C(\max \{d, h\})^\lambda $, non identiquement nul sur V, qui s'annule en tout point exceptionnel v dans $V(\overline {k})$ tel que $[k(v):k]\leq d$ et $h_\varphi (v)\leq h$. Cela implique par exemple que, pour tout réel $H\geq 3$, il existe au plus $C(\log H)^\lambda $ entiers positifs $v\leq H$ tels que la jacobienne de la courbe y5=x(x-1)(x-v) admette de la multiplication complexe ; ou bien, qu'il y a au plus $CH^5 (\log H)^\lambda $ familles d'entiers positifs $v_0, \dots , v_5 \leq H$ telle que la jacobienne de la courbe $y ^2 = v_0 x^5 +\cdots + v_5$ admette un endomorphisme non trivial.

Les démonstrations font appels à des estimations, obtenues récemment par Wüstholz et l'auteur [Math. Z. 215, 1994, p. 641-653], sur les générateurs des anneaux d'endomorphismes, ainsi qu'à une inégalité de Lange et à des techniques d'élimination effective (« zero estimates » et wronskiens).

Abstract:
Let k be a number field with algebraic closure $\overline {k}$, let V be a variety defined over k, and let A be an abelian variety defined over the function field k(V). It is shown that for v in $V(\overline {k})$ the absolute endomorphism ring $\mathrm {End} A_v$ of the « fibre » Av is « almost always » isomorphic to the absolute endomorphism ring $\mathrm {End} A$ ; and even that the « exceptional set » of such v, where there is no such isomorphism, is « sparse » . More precisely, fix a projective embedding $\varphi $ of V over k and let $h_\varphi $ be the associated absolute logarithmic Weil height. Then there is a constant $\lambda $, depending only on the dimension of A, and a constant C, depending only on k, V, A and $\varphi $, with the following property. For any real $d\geq 1$ and $h\geq 1$ there exists a homogeneous polynomial of degree at most $C(\max \{d, h\})^\lambda $, not vanishing identically on V, that vanishes at all exceptional v in $V(\overline {k})$ with $[k(v):k]\leq d$ and $h_\varphi (v)\leq h$. For example, this implies that for any real $H\geq 3$ there are at most $C(\log H)^\lambda $ positive integers $v\leq H$ for which the Jacobian of the curve y 5=x(x-1) (x-v) has complex multiplication ; or, there are at most $CH^5 (\log H)^\lambda $ sets of positive integers $v_0, \dots , v_5 \leq H$ for which the Jacobian of the curve $y ^2 = v_0 x^5 +\cdots + v_5$ has non-trivial endomorphisms.

The proofs involve recent estimates of Wüstholz and the author [Math. Z. 215, 1994, p. 641-653] for generators of endomorphism rings, together with an inequality of Lange and some effective elimination techniques using zero estimates from transcendence theory and Wronskians.

Class. math. : 14 K, 11 G, 11 J


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique