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Bulletin de la SMF - Parutions - 124 - pages 401-423

Parutions124

Question de Whitehead et modules précroisés
Daniel Conduché
Bulletin de la Société mathématique de France 124, fascicule 3 (1996), 401-423
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Résumé :
Soient $\partial ' : M' \to P$ et $\partial '' : M'' \to P$ deux modules précroisés totalement libres et soit $\partial = \partial ' * \partial '' : M = M' * M'' \to P$ leur coproduit (dans la catégorie des P-modules précroisés). Soient $\partial ^{\rm cr}$ et $\partial ^{\prime \rm cr}$ les modules croisés induits. Alors, si $\partial ^{\rm cr}$ est injectif, le noyau $\ker (\partial ^{\prime \rm cr})$ est l'intersection des termes de la série centrale descendante de $\partial ^{\prime \rm cr}$, la notion de série centrale descendante se généralisant de façon naturelle aux modules croisés. Ce résultat permet d'exprimer le problème d'homotopie de Whitehead en termes de nilpotence résiduelle.

Mots clefs : module précroisé, module croisé, CW-complexe, nilpotence résiduelle

Abstract:
Let $\partial ' : M' \to P$ and $\partial '' : M'' \to P$ be two totally free pre- crossed modules and let $\partial = \partial ' * \partial '' : M = M' * M'' \to P$ be their coproduct (in the category of pre-crossed P-modules). Let $\partial ^{\rm cr}$ and $\partial ^{\prime \rm cr}$ be the induced crossed modules. Then, if $\partial ^{\rm cr}$ is injective, the kernel $\ker (\partial ^{\prime \rm cr})$ is the intersection of $\partial ^{\prime \rm cr}$s lower central series, the notion of lower central series having a natural extension to crossed modules. This result allows a translation of Whitehead's homotopy problem in terms of residual nilpotency.

Class. math. : 57 M 20, 20 E 26, 18 G 30, 18 G 35


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique