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Bulletin de la SMF - Parutions - 123 - pages 517-533

Parutions123

Multiplicités des valeurs propres et transformations étoile-triangle des graphes
Roland Bacher - Yves Colin de Verdière
Bulletin de la Société mathématique de France 123, fascicule 4 (1995), 517-533
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Résumé :
On étudie l'invariant numérique $\mu \in \lbrace 0,1,2,\dots \rbrace $ des graphes finis défini dans un travail précédent du second auteur. Un tel graphe $\Gamma $ est dit n-critique si $\mu (\Gamma )=n$ et si $\mu (\widetilde \Gamma )<n$ pour tout mineur strict $\tilde \Gamma $ de $\Gamma $. On montre que pour $n\geq 5$ une transformation étoile-triangle change un graphe n-critique en un autre graphe n-critique. On en déduit en particulier six nouveaux exemples de graphes 5-critiques. Les bonnes propriétés de l'invariant $\mu $ par rapport aux transformations étoile-triangle permettent aussi de donner une preuve combinatoire du fait que $\mu (\textrm {graphe planaire}) \leq 3$.

Abstract:
We show that the $\mu $-invariant of finite graphs introduced by Colin de Verdière behaves well under star-triangle transformations. This enables us for instance to find several new 5-critical graphs. Moreover, we use these star-triangle transformations in order to give a new proof of $\mu \textrm {(planar graph)} \leq 3$.

Class. math. : 05 C 50, 47 A 10, 47 A 75


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique