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Bulletin de la SMF - Parutions - 123 - pages 47-85

Parutions123

Familles de revêtements de la droite projective
Michel Emsalem
Bulletin de la Société mathématique de France 123, fascicule 1 (1995), 47-85
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Résumé :
La première partie de cet article (§§1-6) est consacrée à la construction rigoureuse des espaces de Hurwitz, en utilisant des outils classiques de topologie algébrique (action du groupoïde fondamental, fibrations, suites exactes d'homotopie). Ces espaces -- introduits par M. Fried [Fr] -- paramètrent les classes d'isomorphismes de revêtements avec certaines données de ramification ou bien de G-revêtements de $
\mathbb {P}
_1$. La seconde partie (§7) est consacrée à la situation algébrique et en particulier à la question du corps de définition des revêtements. On y donne une démonstration nouvelle par certains aspects d'un théorème de Fried et Völklein [Fr-Völ] qui assure que les espaces de Hurwitz introduits sont définissables sur $
\mathbb {Q}
$ (théorème 9). On rappelle enfin, comme application que la solution de la version régulière du problème inverse de Galois sur $
\mathbb {Q}
(T)$ est équivalente à la preuve de l'existence de points rationnels sur $
\mathbb {Q}
$ sur les espaces de Hurwitz des G-revêtements de $
\mathbb {P}
_1$.

Abstract:
The first part of this article (§§1-6) is devoted to a rigorous construction of the Hurwitz spaces, using classical tools of algebraic topology (action of the fundamental group, fibrations, exact sequence of homotopy). Those spaces introduced by Fried [Fr], parametrize the isomorphism classes of coverings with certain data of ramification or of G-coverings of $
\mathbb {P}
_1$. The second part (§7) is devoted to the algebraic situation, in particular to the question of field of definition of coverings. A new proof (in some aspects) is given of a theorem of Fried and Völklein [Fr-Völ] which asserts that these Hurwitz spaces are defined over $
\mathbb {Q}
$ (théorème 9). As an application one recalls that the solution of the regular version of the inverse Galois problem over $
\mathbb {Q}
(T)$ is equivalent to the proof of the existence of rational points on the Hurwitz spaces parametrizing the G-coverings of $
\mathbb {P}
_1$.

Class. math. : 11 G 30, 11 G 35, 12 F 12, 14 D 20, 14 D 22, 14 H 10, 14 H 30


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique