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Bulletin de la SMF - Parutions - 123 - pages 351-359

Parutions123

Minimal surfaces of finite type
Harold Rosenberg
Bulletin de la Société mathématique de France 123, fascicule 3 (1995), 351-359
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Résumé :
Une surface minimale complète M est de type fini si M est de type conforme fini et si M peut être paramétrisé par des formes méromorphes sur une surface de Riemann compacte (ou l'intégrale de telles formes). Si M est de courbure totale finie, M est de type fini. L'hélicoïde est de type fini (et de courbure totale infinie). Nous donnons une condition sur la croissance de la courbure totale, dans le sens de Nevanlinna, qui entraîne que M est de type fini. On donne un exemple d'une surface minimale complète, simplement connexe, transverse à chaque plan horizontal de $
\mathbb {R}
^3$, et conformément le disque unité. Nous démontrons que si un tel M est plongé, conformément $
\mathbb {C}
$, de courbure totale de croissance finie, alors M est un hélicoïde ou un plan.

Abstract:
A complete minimal surface M is said to be of finite type if M is of finite conformal type and M can be parametrized by meromorphic data on a compact Riemann surface (or integrals of such data). Finite total curvature M are of finite type. The helicoid is of finite type (and infinite total curvature). We give a condition on the growth of the total curvature, in the sense of Nevanlinna, which implies M is of finite type. We give an example of a simply connected complete minimal surface M, transverse to every horizontal plane of $
\mathbb {R}
^3$, and conformally the unit disk. We prove that if such an M is embedded, conformally $
\mathbb {C}
$, and of finite growth, then M is a helicoid or plane.

Key words: minimal surfaces in $
\mathbb {R}
^3$, finite growth type of the total curvature in the sense of Nevanlinna, finite type

Class. math. : 53 A 10, 30 C 15


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique