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Bulletin de la SMF - Parutions - 123 - pages 257-270

Parutions123

Complexité de suites définies par des billards rationnels
Pascal Hubert
Bulletin de la Société mathématique de France 123, fascicule 2 (1995), 257-270
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Résumé :
Soit P un polygone rationnel convexe, $k_1 \pi /r ,\dots ,k_q \pi /r$ les angles entre deux côtés consécutifs où $k_1,\dots , k_q, r$ sont premiers dans leur ensemble. Nous considérons le problème de billard dans ce polygone et codons les trajectoires suivant les côtés qu'elles rencontrent. Nous montrons que, si la suite ainsi obtenue n'est pas périodique, sa complexité est donnée par la formule p(n) = n(q-2)r+2r. Cette expression de la complexité est valable pour n assez grand et est indépendante des conditions initiales du problème.

Abstract:
Let P be a convex rational polygon, $k_1 \pi /r ,\dots ,k_q \pi /r$ the interior angles ($k_1,\dots , k_q, r$ are coprime). Let us consider the billiard problem in this polygon. We code the trajectories according to the sides they meet. When the sequence so obtained is not periodic, we show that the complexity of this sequence is equal to p(n) = n(q-2)r+2r. This formula is true for n large enough and does not depend on the initial conditions.

Class. math. : 58 F 03, 05 A 15


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique