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Bulletin de la SMF - Parutions - 123 - pages 139-153

Parutions123

Projections from a von Neumann algebra onto a subalgebra
Gilles Pisier
Bulletin de la Société mathématique de France 123, fascicule 1 (1995), 139-153
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Résumé :
Cet article est principalement consacré à la question suivante : soient M,N deux algèbres de Von Neumann avec $M\subset N$. S'il existe une projection complètement bornée $P:N\longrightarrow M$, existe-t-il automatiquement une projection contractante $\tilde P:N\longrightarrow M$ ? Nous donnons une réponse affirmative sous la seule restriction que M soit semi-finie. La méthode consiste à identifier isométriquement l'espace d'interpolation complexe $(A_0,A_1)_\theta $ associé au couple (A0,A1) défini comme suit : A0 (resp. A1) est l'espace de Banach des n-uples $x=(x_1,\ldots ,x_n)$ d'éléments de M muni de la norme $\Vert x\Vert _{A_0}=\Vert\sum x^*_ix_i\Vert^{1/2}_M$ (resp. $\Vert x\Vert _{A_1}=\Vert\sum x_ix^*_i\Vert^{1/2}_M$) .

Abstract:
This paper is mainly devoted to the following question : let M,N be Von Neumann algebras with $M\subset N$. If there is a completely bounded projection $P:N\longrightarrow M$, is there automatically a contractive projection $\tilde P:N\longrightarrow M$ ? We give an affirmative answer with the only restriction that M is assumed semi-finite. The main point is the isometric identification of the complex interpolation space $(A_0,A_1)_\theta $ associated to the couple (A0,A1) defined as follows : A0 (resp. A1) is the Banach space of all n-tuples $x=(x_1,\ldots ,x_n)$ of elements in M equipped with the norm $\Vert x\Vert _{A_0}=\Vert\sum x^*_ix_i\Vert^{1/2}_M$ (resp. $\Vert x\Vert _{A_1}=\Vert\sum x_ix^*_i\Vert^{1/2}_M$).

Class. math. : 46 L 10, 46 L 50, 46 B 70, 47 A 68


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique