Certaines complétions $p$-adiques des algèbres de coordonnées sur les groupes quantiques aux racines $p^{\alpha }$-ièmes de l'unité sont des modules de type fini sur leur centre. Nous décrivons ces centres dans le cas complété et nous déduisons de cette analyse les centres des algèbres non complétées, ainsi que leurs structures de Poisson. Comme dans la situation décrite par Kac, de Concini et Procesi, ils sont engendrés par leurs sous-algèbres « de Poisson »et « de Frobenius ».