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Bulletin de la SMF - Parutions - 122 - pages 371-397

Parutions122

Poincaré duality for k-A-Lie superalgebras
Sophie Chemla
Bulletin de la Société mathématique de France 122, fascicule 3 (1994), 371-397
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Résumé :
Soit A une k-superalgèbre associative supercommutative avec unité et soit $\mathcal {L}$ une k-A-superalgèbre de Lie. À partir de ces données, on peut construire une superalgèbre d'opérateurs différentiels $\mathcal {V}(A,\mathcal {L})$ (généralisant la superalgèbre enveloppante d'une superalgèbre de Lie). Supposons que le corps de base soit de caractéristique et que $\mathcal {L}$ soit un A-module projectif de type fini. Le but de cet article est d'étudier la dualité de Poincaré pour les complexes de $\mathcal {V}(A,\mathcal {L})$-modules à gauche. Nous verrons que la dualité de Poincaré est satisfaite pour les complexes qui admettent une résolution projective finie. En utilisant notre résultat, nous démontrons des propriétés de dualité pour les représentations induites de superalgèbres de Lie. En particulier, nous montrons que, sous certaines hypothèses de finitude, le Ext-dual d'une représentation induite est une représentation induite.

Abstract:
Let A be a supercommutative associative k-superalgebra with unity and let $\mathcal {L}$ be a k-A Lie superalgebra. From these data, one can construct a superalgebra of differential operators $\mathcal {V}(A,\mathcal {L})$ (generalizing the enveloping superalgebra of a Lie superalgebra). Assume that the ground field is of characteristic and that $\mathcal {L}$ is a finitely generated projective A-module. The goal of this article is to study Poincaré duality for complexes in the derived category of left $\mathcal {V}(A,\mathcal {L})$-modules. We will see that Poincaré duality holds for complexes which are quasi-isomorphic to a bounded complex consisting of projective modules. Applying our result, we prove some duality properties for induced representations of Lie superalgebras. In particular, under some finiteness conditions, we show that the Ext-dual of an induced representation is an induced representation.

Key words: k-A-Lie superalgebra, ring of differential operators, Berezinian complex, Poincaré duality, induced representations, duality properties

Class. math. : 16 S 32, 16 W 55, 17 A 70,17 B 35, 17 B 70, 17 C 70


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique