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Bulletin de la SMF - Parutions - 122 - pages 343-361

Parutions122

Degrees of curves in abelian varieties
Olivier Debarre
Bulletin de la Société mathématique de France 122, fascicule 3 (1994), 343-361
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Résumé :
Le degré d'une courbe C contenue dans une variété abélienne polarisée $(X,\lambda )$ est l'entier $d=C\cdot \lambda $. Lorsque C est irréductible et engendre X, on obtient une minoration de d en fonction de n et du degré de la polarisation $\lambda $. Le plus petit degré possible est d=n et n'est atteint que pour une courbe lisse dans sa jacobienne avec sa polarisation principale canonique (Ran, Collino). On étudie les cas d=n+1 et d=n+2. Lorsque X est simple, on montre de plus, en utilisant des résultats de Smyth sur la trace des entiers algébriques totalement positifs, que si $d\leq 1,7719\, n$, alors C est lisse et X est isomorphe à sa jacobienne. Nous obtenons aussi une borne supérieure pour le genre géométrique de C en fonction de son degré.

Abstract:
The degree of a curve C in a polarized abelian variety $(X,\lambda )$ is the integer $d=C\cdot \lambda $. When C is irreducible and generates X, we find a lower bound on d which depends on n and the degree of the polarization $\lambda $. The smallest possible degree is d=n and is obtained only for a smooth curve in its Jacobian with its principal polarization (Ran, Collino). The cases d=n+1 and d=n+2 are studied. Moreover, when X is simple, it is shown, using results of Smyth on the trace of totally positive algebraic integers, that if $d\le 1.7719\, n$, then C is smooth and X is isomorphic to its Jacobian. We also get an upper bound on the geometric genus of C in terms of its degree.

Class. math. : 14 K 05, 14 H 40


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique