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Bulletin de la SMF - Parutions - 122 - pages 163-184

Parutions122

On microlocal b-function
Morihiko Saito
Bulletin de la Société mathématique de France 122, fascicule 2 (1994), 163-184
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Résumé :
Soit f un germe de fonction holomorphe en n variables. En utilisant des opérateurs différentiels microlocaux, on introduit la notion de b-fonction microlocale $\widetilde {b}_f (s)$ de f, et on démontre que $(s+1)\widetilde {b}_f (s)$ coïncide avec la b-fonction (i.e. le polynôme de Bernstein) de f. Soient R f les racines de $ \widetilde { b } _{ f } (-s)$, $ \alpha _{ f } = \min R _{ f } $ et $ m _{ \alpha } (f) $ la multiplicité de $ \alpha \in R _{ f } $. On démontre $ R _{ f } \subset [ \alpha _{ f } , n - \alpha _{ f } ] $ et $ m _{ \alpha } (f) \leq n - \alpha _{ f } - \alpha + 1$ $( \leq n - 2 \alpha _{ f } + 1) $. Le théorème de type Thom-Sebastiani pour la b-fonction est aussi démontré sous une hypothèse raisonnable.

Abstract:
Let f be a germ of holomorphic function of n variables. Using microlocal differential operators, we introduce the notion of microlocal b-function $\widetilde {b}_f (s)$ of f, and show that $(s+1)\widetilde {b}_f (s)$ coincides with the b-function (i.e. Bernstein polynomial) of f. Let R f be the roots of $ \tilde { b } _{ f } (-s)$, $ \alpha _{ f } = \min R _{ f } $, and $ m _{ \alpha } (f) $ the multiplicity of $ \alpha \in R _{ f } $. Then we prove $ R _{ f } \subset [ \alpha _{ f } , n - \alpha _{ f } ] $ and $ m _{ \alpha } (f) \leq n - \alpha _{ f } - \alpha + 1$ $( \leq n - 2 \alpha _{ f } + 1) $. The Thom-Sebastiani type theorem for b-function is also proved under a reasonable hypothesis.


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique