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Bulletin de la SMF - Parutions - 122 - pages 1-12

Parutions122

Complexity of sequences defined by billiard in the cube
Pierre Arnoux - Christian Mauduit - Iekata Shiokawa - Jun-Ichi Tamura
Bulletin de la Société mathématique de France 122, fascicule 1 (1994), 1-12
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Résumé :
Nous démontrons une conjecture de Gérard Rauzy relative à la structure des trajectoires de billard dans un cube. A chaque trajectoire on associe la suite à valeurs dans $\{\mathbf {1},\mathbf {2},\mathbf {3}\}$ obtenue en codant par un $\mathbf {1}$ (resp. $\mathbf {2}$, $\mathbf {3}$) chaque rebond sur une paroi frontale (resp. latérale, horizontale). Nous montrons que si la direction initiale est totalement irrationnelle, le nombre de sous-mots distincts apparaissant dans cette suite est exactement n2+n+1.

Abstract:
We prove a conjecture of Gérard Rauzy related to the structure of billiard trajectories in the cube: let us associate to any such trajectory the sequence with values in $\{\mathbf {1},\mathbf {2},\mathbf {3}\}$ given by coding $\mathbf {1}$ (resp. $\mathbf {2}$, $\mathbf {3}$) any time the particle rebounds on a frontal (resp. lateral, horizontal) side of the cube. We show that, if the direction is totally irrational, the number of distinct finite words of length n appearing in this sequence is exactly n2+n+1.

Class. math. : 58 F 03, 05 A 15, 05 B 45


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique