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Bulletin de la SMF - Parutions - 121 - pages 545-598

Parutions121

Poles of Igusa's local zeta function and monodromy
Willem Veys
Bulletin de la Société mathématique de France 121, fascicule 4 (1993), 545-598
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Résumé :
Soit K une extension finie de $
\mathbb {Q}
_p$ et R son anneau de valuation. On associe à chaque $f \in K[x]$, avec $x= (x_1, \dots ,x_n)$, la fonction zêta locale d'Igusa

\begin{displaymath}
Z(s) = \int _{R^n} \vert f(x)\vert^s \vert\mathrm {d} x\vert , \end{displaymath}

qui est méromorphe sur $
\mathbb {C}
$. La conjecture de monodromie associe des valeurs propres de la monodromie (complexe) de l'hypersurface f=0 aux pôles de Z(s). On peut exprimer une liste de candidats-pôles de Z(s) ainsi que les valeurs propres de la monodromie à l'aide de données numériques de variétés exceptionnelles, associées à une résolution plongée de f=0. En utilisant des relations entre ces données numériques on montre que certains candidats-pôles ne contribuent pas aux vrais pôles, ce qui entraîne une forte évidence concernant la conjecture.

Abstract:
Let K be a finite extension of $
\mathbb {Q}
_p$ and R its valuation ring. To any $f \in K[x]$, with $x= (x_1, \dots ,x_n)$, is associated Igusa's local zeta function

\begin{displaymath}
Z(s) = \int _{R^n} \bigl \vert f(x)\bigr \vert^s \vert\mathrm {d} x\vert , \end{displaymath}

which is known to be meromorphic on $
\mathbb {C}
$. The monodromy conjecture relates poles of Z(s) to eigenvalues of the (complex) monodromy of the hypersurface f=0. Now we can express both a list of candidate-poles for Z(s) and the monodromy-eigenvalues in terms of certain numerical data of exceptional varieties, associated to an embedded resolution of f=0. Using relations between those numerical data we study the vanishing of bad candidate-poles for Z(s) to obtain a lot of evidence for the conjecture.

Class. math. : 11 S 40, 14 G 10


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique