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Bulletin de la SMF - Parutions - 121 - pages 465-478

Parutions121

A disjointness theorem involving topological entropy
François Blanchard
Bulletin de la Société mathématique de France 121, fascicule 4 (1993), 465-478
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Résumé :
Un recouvrement standard d'un compact X est un recouvrement de celui-ci par deux ouverts non-denses. Dans le carré cartésien d'un flot (X,T), un couple (x,x') hors de la diagonale est appelé couple d'entropie quand tout recouvrement standard (U,V) tel que $(x,x') \in \mathrm {Int}(U^c) \times \mathrm {Int}(V^c)$ a une entropie positive. L'ensemble des couples d'entropie n'est pas vide dès que l'entropie du flot est positive, il est invariant par $T\times T$, et tout couple situé dans sa fermeture est couple d'entropie s'il n'est pas dans la diagonale.

On dit qu'un flot est d'entropie uniformément positive si tout recouvrement standard est d'entropie positive, ce qui revient à dire que tout couple hors diagonale est couple d'entropie. Nous utilisons les propriétés des couples d'entropie pour montrer que les flots d'entropie uniformément positive, et même une classe plus générale de flots, sont disjoints des flots minimaux d'entropie nulle. Nous construisons ensuite un exemple de flot d'entropie uniformément positive contenant une seule orbite périodique.

Abstract:
A cover of some compact set X by two non dense open sets is called a standard cover. In the cartesian square of a flow (X,T), pairs (x,x') outside the diagonal are defined as entropy pairs whenever any standard cover (U,V) such that $(x,x') \in \mathrm {Int}(U^c) \times \mathrm {Int}(V^c)$ has positive entropy. The set of such pairs is nonempty provided h(X,T) > 0; it is $T\times T$-invariant, and all pairs in its closure belong either to it or to the diagonal.

A flow is said to have uniform positive entropy if any standard cover has positive entropy (or if all non diagonal pairs are entropy pairs). Properties of entropy pairs are used to show that flows with uniform positive entropy (in fact a wider class) are disjoint from minimal flows with entropy 0. A flow with uniform positive entropy containing only one periodic orbit is constructed.

Class. math. : 54 H 20


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique