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Bulletin de la SMF - Parutions - 121 - pages 403-444

Parutions121

Intervalles d'instabilité pour une équation de Hill à potentiel méromorphe
Thierry Ramond
Bulletin de la Société mathématique de France 121, fascicule 3 (1993), 403-444
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Résumé :
Le spectre d'un opérateur de Schrödinger périodique $-\Delta +V$ en dimension 1 est constitué de bandes qui ne peuvent se recouvrir qu'en leurs extrémités. On appelle gaps ou intervalles d'instabilité les intervalles qui séparent ces bandes. Nous supposons ici que le potentiel V est réel-analytique et s'étend dans une bande du plan complexe en une fonction méromorphe à pôles simples. En utilisant la méthode WKB complexe exacte puis des techniques d'analyse microlocale semi-classique, nous obtenons le développement asymptotique pour n grand de la largeur du n-ième gap. Notre résultat montre en particulier qu'il y a une infinité de gaps ouverts pour ce type de potentiels.

Abstract:
The spectrum of a 1-dimensional periodic Schrödinger operator $-\Delta +V$ is made of bands which cannot overlap but at their endpoints. The intervals separating these bands are called gaps or instability intervals. We make here the assumption that the potential V is real-analytic and extends into a strip of the complex plane as a meromorphic function with simple poles. Using the exact complex WKB method and semiclassical microlocal analysis techniques, we obtain the asymptotic expansion of the width of the nth gap for large n. In particular our result shows that there are infinitely many gaps for this kind of potentials.

Class. math. : primaire: 34 E 20, 81 Q 20 ; secondaire: 34 A 20, 35 J 10, 35 C 20, 34 L 20


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique