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Bulletin de la SMF - Parutions - 121 - pages 35-90

Parutions121

Modules over the 4-dimensional Sklyanin algebra
Thierry Levasseur - S. Paul Smith
Bulletin de la Société mathématique de France 121, fascicule 1 (1993), 35-90
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Résumé :
Cet article étudie les « point modules » et « line modules » sur l'algèbre définie par E.K. Sklyanin dans [17]. Ces modules sont précisément les modules de Cohen-Macaulay de multiplicité 1 et dimension de Gelfand-Kirillov 1 et 2 respectivement. Il a été démontré en [21] que les « point modules » sont en bijection avec les points d'une courbe elliptique E dans $
\mathbb {P}
^3$ augmentée de quatre autres points. On prouve ici que les « line modules » sont en bijection avec les droites sécantes de E. On montre que d'autres propriétés algébriques de ces modules sont conséquences et/ou analogues de propriétés géométriques de E et des quatre points. Par exemple, si deux droites non concourantes sont sur une quadrique lisse contenant E, alors les deux modules correspondant ont le même annulateur. On démontre également que l'algèbre de Sklyanin peut être définie à l'aide des formes bilinéaires s'annulant sur une certaine sous-variété de $
\mathbb {P}
^3 \times 
\mathbb {P}
^3.$

Abstract:
This paper studies point modules and line modules over the algebra defined by E.K. Sklyanin in [17]. It was proved in [21] that the point modules are in bijection with the points of an elliptic curve E in $
\mathbb {P}
^3$ together with four other points. Here it is proved that the line modules are in bijection with the lines in $
\mathbb {P}
^3$ which are secant lines to E. The point and line modules are precisely the Cohen-Macaulay modules of multiplicity 1, and Gelfand-Kirillov dimension 1 and 2 respectively. Further algebraic properties of these modules are shown to be consequences and analogues of the geometric properties of the elliptic curve and the four points. For example, if two lines lie on a smooth quadric containing E, and they do not intersect, then the two corresponding line modules have the same annihilator. It is also shown that the Sklyanin algebra may be defined in terms of the bilinear forms vanishing on a certain subvariety of $
\mathbb {P}
^3 \times 
\mathbb {P}
^3$.

Key words: point modules, line modules, Cohen-Macaulay modules, Auslander-regular rings, elliptic curve

Class. math. : 16 A 33, 16 A 62, 14 K 07


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique