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Bulletin de la SMF - Parutions - 121 - pages 299-314

Parutions121

Une borne optimale pour la programmation entière quasi-convexe
Bernd Bank - Joos Heintz - Teresa Krick - Reinhard Mandel - Pablo Solernó
Bulletin de la Société mathématique de France 121, fascicule 2 (1993), 299-314
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Résumé :
Soient $F_1,\ldots ,F_s\in 
\mathbb {Z}
[X_1,\ldots ,X_N]$ des polynômes quasiconvexes de degré majoré par $d\geq 2$, et $\ell $ une borne pour la longueur binaire de leurs coefficients. On montre que si le système $F_1\leq 0,\ldots ,F_s\leq 0$ admet une solution entière, alors il existe une telle solution à longueur binaire majorée par $(sd)^{cn} \ell $ (où c est une constante, indépendante de s,d,n et $\ell $). Le caractère simplement exponentiel de cette borne est intrinsèque au problème. On obtient aussi une borne similaire pour le problème de minimisation correspondant.

Abstract:
Let $F_1,\ldots , F_s\in 
\mathbb {Z}
[X_1,\ldots ,X_n]$ be quasiconvex polynomials of degrees bounded by $d\geq 2$ and assume that the maximum binary length of the coefficients of these polynomials doesn't exceed a given natural number $\ell $. We show that the system of polynomial inequalities $F_1\leq 0,\ldots ,F_s\leq 0$ admits an integer solution if and only if such a solution with binary length bounded by $(sd)^{cn} \ell $ exists. (Here c is a constant, independent on s,d,n and $\ell $). The simply exponential nature of this bound is intrinsical to this problem. We obtain a similar geometrical bound for the corresponding minimisation problem.

Class. math. : 90 C 10, 65 K 05


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique