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Bulletin de la SMF - Parutions - 120 - pages 467-484

Parutions120

Démonstration d'un théorème de Penner sur la composition des twists de Dehn
Albert Fathi
Bulletin de la Société mathématique de France 120, fascicule 4 (1992), 467-484
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Résumé :
Nous démontrons le théorème suivant de Penner : si $(\gamma _1,\ldots ,\gamma _k)$ et $(\delta _1,\ldots ,\delta _\ell )$ sont deux multicourbes qui remplissent une surface orientée, tout composé en les twists de Dehn positifs $D_{\gamma _1},\ldots , D_{\gamma _k}$ et négatifs $D^{-1}_{\delta _1},\ldots , D^{-1}_{\delta _\ell }$ autour des courbes $\gamma _1,\ldots ,\gamma _k$, $\delta _1,\ldots ,\delta _\ell $, qui contient au moins une occurence de chacun d'entre eux, est pseudo-Anosov. La démonstration que nous en donnons ne repose pas sur une théorie du réseau ferroviaire dual. De plus le représentant, dans la classe d'isotopie, que nous construisons est conjugué au pseudo-Anosov par une semi-conjugaison qui n'a qu'un nombre fini de préimages non-réduites à un point.

Mots clefs : pseudo-Anosov, twist de Dehn, surface

Abstract:
We prove the following theorem due to Penner : if $(\gamma _1,\ldots ,\gamma _k)$ and $(\delta _1,\ldots ,\delta _1)$ are two multicurves filling an oriented surface, every composition of positive Dehn twists $D_{\gamma _1},\ldots , D_{\gamma _k}$ and of negative Dehn twists $D^{-1}_{\delta _1},\ldots ,D^{-1}_{\delta _t}$ around the curves $\gamma _1,\ldots ,\gamma _k$, $\delta _1,\ldots ,\delta _\ell $, which contains at least one occurence of each of them, is pseudo-Anosov. Our proof does not rely on any theory for the dual train-track. Moreover, we construct a representative in the isotopy class that is semi-conjugate to the pseudo-Anosov representative by a semi-conjugacy with only a finite number of preimages which are not points.

Class. math. : 57 M 99, 57 N 05, 57 R 50


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique