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Bulletin de la SMF - Parutions - 120 - pages 347-370

Parutions120

Intégrales invariantes et formules de caractères pour un groupe de Lie connexe à radical co-compact
Michalis Anoussis
Bulletin de la Société mathématique de France 120, fascicule 3 (1992), 347-370
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Résumé :
On considère un groupe de Lie G connexe unimodulaire et à radical co-compact. On note $
\mathfrak {g}
$ l'algèbre de Lie du groupe G. Soit $\ell $ un élément du dual de l'espace vectoriel $
\mathfrak {g}
$. Sous l'hypothèse que l'algèbre de Lie $
\mathfrak {g}
(\ell )$ est réductive et abélienne dans $
\mathfrak {g}
$, on construit une application $\varphi \mapsto F_{\ell ,\varphi }$ de D(G) dans l'espace des fonctions $C^\infty $ sur une partie ouverte et dense de $G(\ell )$. Si le groupe G est compact, $F_{\ell ,\varphi }$ est -- à un scalaire près -- l'intégrale invariante de $\varphi $ relativement au sous-groupe de Cartan $G(\ell )$ de G. En utilisant cette application, on donne une formule pour la trace de l'opérateur $T(\ell , G)(\varphi )$, où $T(\ell , G)$ est la représentation unitaire du groupe G associée à $\ell $.

Abstract:
We consider a connected Lie group with co-compact radical G. Let $
\mathfrak {g}
$ be the Lie algebra of G. Let $\ell $ be in the dual of $
\mathfrak {g}
$. Under the assumption that $
\mathfrak {g}
(\ell )$ is commutative and reductive in $
\mathfrak {g}
$, we construct an application $\varphi \mapsto F_{\ell ,\varphi }$ from D(G) to the space of $C^\infty $ functions on an open dense subset of $G(\ell )$. If G is compact, $F_{\ell ,\varphi }$ is -- up to a scalar -- the invariant integral of $\varphi $ relative to the Cartan subgroup $G(\ell )$ of G. Using this, we give a formula for the trace of the operator $T(\ell , G)(\varphi )$, where $T(\ell , G)$ is the unitary representation of G associated to $\ell $.

Class. math. : primaire 22 E 30, secondaire 43 E 65


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique