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Bulletin de la SMF - Parutions - 120 - pages 15-49

Parutions120

Déformation d'une singularité isolée d'hypersurface et polynômes de Bernstein
Joel Briançon - Françoise Geandier - Philippe Maisonobe
Bulletin de la Société mathématique de France 120, fascicule 1 (1992), 15-49
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Résumé :
Nous étudions le polynôme de Bernstein d'une famille $(W_y)_{y\in Y}$, d'hypersurfaces de $
\mathbb {C}
^n$ à singularités isolées, paramétrée par un espace lisse Y, définie par une application holomorphe F sur $
\mathbb {C}
^n\times Y$. Nous montrons que la partition de l'espace des paramètres Y définie par le polynôme de Bernstein by de la fibre Wy est localement finie, « constructible » . Nous prouvons l'existence d'un polynôme de Bernstein « générique » qui coïncide avec le polynôme de Bernstein de la fibre générique. Dans le cas particulier où la famille $(W_y)_{y\in Y}$ est à nombre de Milnor constant, nous montrons l'existence d'un « bon » opérateur en s dans l'anneau des opérateurs différentiels relatifs polynomiaux en s, annulant Fs ; ainsi que l'existence d'un polynôme de Bernstein « relatif » .

Abstract:
We study the Bernstein's polynomial of a family $(W_y)_{y\in Y}$ of hypersurfaces of $
\mathbb {C}
^n$ with isolated singularities when the family is parametrized by a smooth space Y and defined by an holomorphic mapping F on $
\mathbb {C}
^n\times Y$. We show that the partition defined by the Bernstein's polynomial by of the fiber Wy of the parameter'space Y is locally finite and ``constructible". We prove the existence of a generic Bernstein's polynomial which coïncide with the Bernstein's polynomial of the generic fiber. In the particular case where the family $(W_y)_{y\in Y}$ has a constant Milnor's number we establish the existence of a ``good operator in s" in the ring of the relative differential operators which are polynomial in s, nullifying Fs ; and the existence of a ``relative" Bernstein's polynomial.


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique