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Bulletin de la SMF - Parutions - 119 - pages 371-396

Parutions119

Les $\mathrm {SO}(3)$-variétés symplectiques et leur classification en dimension 4
Patrick Iglesias
Bulletin de la Société mathématique de France 119, fascicule 3 (1991), 371-396
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Résumé :
On considère une variété symplectique V munie d'une action symplectique et effective de $\mathrm {SO}(3)$. On montre que le stabilisateur principal de l'action $\mathrm {SO}(3)$ est du type $\mathrm {SO}(2)$ ou $
\mathbb {Z}
/m
\mathbb {Z}
$. Dans le premier cas, on montre que la variété V est équivalente au produit symplectique d'une sphère S2 par la variété des orbites $V/\mathrm {SO}(3)$. Le deuxième cas est traité uniquement en dimension 4. On donne une classification complète, à isomorphisme près, des $\mathrm {SO}(3)$-variétés symplectiques de dimension 4, compactes et non-compactes. Les seules $\mathrm {SO}(3)$-variétés symplectiques compactes de dimension 4 sont $S^2\times S^2$ et $P^2(
\mathbb {C}
)$. La première peut être munie d'une infinité
d'actions de $\mathrm {SO}(3)$ indexées par $
\mathbb {N}
$, la seconde est munie de l'action induite de celle, naturelle, de $\mathrm {SU}(3)$.

Abstract:
We consider a symplectic manifold V equipped with an effective and symplectic action of $\mathrm {SO}(3)$. We show that the principal stabilizer of the action of $\mathrm {SO}(3)$ has the type $\mathrm {SO}(2)$ or $
\mathbb {Z}
/m
\mathbb {Z}
$. In the first case, we show that V is equivalent to the symplectic product of S2 by the orbit manifold $V/\mathrm {SO}(3)$. The second case is treated only for $\dim V=4$. We give a complete classification, up to isomorphism, of the 4-dimensional $\mathrm {SO}(3)$-symplectic manifolds, in the compact and non-compact case. The only compact $\mathrm {SO}(3)$-symplectic manifolds are $S^2\times S^2$ and $P^2(
\mathbb {C}
)$. The first can be equipped with infinitely many different actions of $\mathrm {SO}(3)$ indexed by $
\mathbb {N}
$, the second is equipped with the natural action induced by $\mathrm {SU}(3)$.


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique