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Bulletin de la SMF - Parutions - 119 - pages 343-370

Parutions119

A note on functional equations of the p-adic polylogarithms
Zdzislaw Wojtkowiak
Bulletin de la Société mathématique de France 119, fascicule 3 (1991), 343-370
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Résumé :
La fonction polylogarithme $\mathrm {Li}_n(z)$ d'ordre n est définie sur le disque ouvert de rayon 1 par la série $\sum ^\infty _{k=1}{z^k/k^n}$. Cette fonction se prolonge analytiquement en une fonction multiforme sur tout plan complexe. La même série $\sum ^\infty _{k=1}{z^k/k^n}$ définit une fonction analytique p-adique sur le disque unité ouvert dans $
\mathbb {C}
_p$ (la complétion de la clôture algébrique de $
\mathbb {Q}
_p$). Les analogues globales p-adiques des fonctions $\mathrm {Li}_n(z)$ sont construites dans le cadre d'une analyse p-adique rigide. Ce sont des polylogarithmes p-adiques. Dans ce papier nous trouvons les conditions suffisantes et nécessaires pour une existence d'une équation fonctionnelle de polylogarithmes en termes des applications induites par des fonctions rationnelles sur les groupes fondamentaux étales de la droite projective moins un nombre fini de points.

Abstract:
The n-th order polylogarithm $\mathrm {Li}_n(z)$ is defined by the series $\sum ^\infty _{k=1}{z^k/k^n}$ on the open unit disc. This function has multivalued analytic prolongation to $
\mathbb {C}
 \backslash \{0,1\}$. The same series $\sum ^\infty _{k=1}{z^k/k^n}$ defines an analytic p-adic function on the open unit disc in $
\mathbb {C}
_p$ (a completion of an algebraic closure of $
\mathbb {Q}
$ at some place above p). The global p-adic analogues of the functions $\mathrm {Li}_n(z)$ are constructed in the frame of rigid analysis. These functions are p-adic polylogarithms. In this paper we give sufficient and necessary conditions to have a functional equation of polylogarithms in terms of maps induced by rational functions on étale fundamental groups of projective lines minus finite numbers of points.


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique