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Bulletin de la SMF - Parutions - 119 - pages 217-230

Parutions119

Comportement asymptotique des dimensions des covariants
Michel Brion - Jacques Dixmier
Bulletin de la Société mathématique de France 119, fascicule 2 (1991), 217-230
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Résumé :
Soit k un corps algébriquement clos de caractéristique et soit $A=\oplus _{n\geq 0} A_n$ une k-algèbre graduée intègre de type fini, avec $A_0=k\cdot 1$ et $A_n\neq 0$ pour n assez grand. Soient G un groupe réductif sur k, e son élément neutre, $\Lambda $ l'ensemble des classes de représentations rationnelles simples de dimension finie de G, l'élément trivial de dimension 1 de $\Lambda $. On suppose que G opère fidèlement rationnellement dans A par automorphismes gradués. Pour $\lambda \in \Lambda $, soit $m_{\lambda ,n}$ la multiplicité de $\lambda $ dans An. Soit X la variété affine irréductible sur k définie par A. Le groupe G opère dans X. Pour simplifier ce résumé, supposons que $m_{0,n}\neq 0$ pour n assez grand, que l'orbite générique de G dans X soit fermée et que le stabilisateur générique d'un point de X soit trivial. Alors $m_{\lambda ,n}/m_{0,n}\to \dim \lambda $ quand $n\rightarrow \infty $. Cela généralise un résultat de R. Howe, relatif au cas où G est fini. Supposons que G soit la complexification d'un groupe de Lie compact connexe K. Soit $\psi _n$ le caractère, convenablement normalisé, de K opérant dans An. Alors $\psi _n\to \varepsilon _e$ (masse de Dirac en e) au sens des distributions quand $n\rightarrow \infty $.

Abstract:
Let k be an algebraically closed field, of characteristic , $A=\oplus _{n\geq 0} A_n$ a graded k-algebra which is finitely generated and a domain, with $A_0=k\cdot 1$ and $A_n\neq 0$ for n big enough. Let G be a reductive group over k, e its unit element, $\Lambda $ the set of classes of finite dimensional rational simple representations of G, 0 the trivial element of dimension 1 of $\Lambda $. Assume that G operates faithfully and rationally in A by graded automorphisms. For $\lambda \in \Lambda $, let $m_{\lambda ,n}$ be the multiplicity of $\lambda $ in An. Let X be the affine irreducible variety over k defined by A. The group G operates in X. To simplify this abstract, assume that $m_{0,n}\neq 0$ for n big enough, that the generic orbit of G in X is closed, and that the stabilizer of a generic point of X is trivial. Then $m_{\lambda ,n}/m_{0,n}\to \dim \lambda $ as $n\rightarrow \infty $. This generalizes a result by R. Howe, which concerns the case where G is finite. Assume that G is the complexification of a connected compact Lie group K. Let $\psi _n$ be the character of the representation of K in An, with a suitable normalization. Then, as $n\rightarrow \infty $, $\psi _n\to \varepsilon _e$ (Dirac mass at e) in the space of distributions on K.


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique