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Bulletin de la SMF - Parutions - 118 - pages 229-240

Parutions118

Prolongement d'applications holomorphes
Mostafa Krachni
Bulletin de la Société mathématique de France 118, fascicule 2 (1990), 229-240

Résumé :
On dit qu'une variété complexe X est holomorphiquement extensifère (resp. méromorphiquement extensifère, resp. holomorphiquement extensifère en dehors de la codimension au moins 2), si toute application holomorphe définie sur l'ouvert de Hartogs T contenu dans le polydisque $\Delta ^n$ et à valeurs dans X, se prolonge holomorphiquement à $\Delta ^n$ (resp. méromorphiquement à $\Delta ^n$, resp. holomorphiquement au complémentaire dans $\Delta ^n$ d'un sous-ensemble analytique de $\Delta ^n$ de codimension au moins 2). Soient X et Y deux variétés complexes et $\phi :X\rightarrow Y$ une application holomorphe. On démontre que si Y admet un recouvrement $\mathcal {U}=(U_i)_{i\in I}$ tel que :

(1) Y est holomorphiquement extensifère et pour tout $i\in I$, $\phi ^{-1}(U_i)$ est holomorphiquement extensifère (resp. méromorphiquement extensifère) alors X est holomorphiquement extensifère, (resp. méromorphiquement extensifère).

(2) Y est projective et pour tout $i\in I$, $\phi ^{-1}(U_i)$ est holomorphiquement extensifère alors X est holomorphiquement extensifère en dehors de la codimension au moins 2.

Comme conséquences de ces résultats, on montre que toute variété homogène compacte est holomorphiquement extensifère en dehors de la codimension au moins 2 et que toute variété presque homogène compacte kählerienne est méromorphiquement extensifère.

Abstract:
We shall say that a complex manifold is holomorphically extensifer (resp. meromorphically extensifer, resp. holomorphically extensifer outside the codimension at least 2) if any holomorphic mapping defined on the Hartogs domain T contained in polydisc $\Delta ^n$, to X, extends holomorphically to $\Delta ^n$ (resp. meromorphically to $\Delta ^n$, resp. holomorphically in the complementary of an analytic subset of $\Delta ^n$ of codimension at least 2). Let X and Y be two complex manifolds and $\phi :X\rightarrow Y$ a holomorphic mapping. We prove that if Y admits an open covering $\mathcal {U}=(U_i)_{i\in I}$ such that :

(1) Y is holomorphically extensifer and for every $i\in I$, $\phi ^{-1}(U_i)$ is holomorphically extensifer (resp. meromorphically extensifer) then X is holomorphically extensifer (resp. meromorphically extensifer).

(2) Y is a projective manifold and for every $i\in I$, $\phi ^{-1}(U_i)$ is holomorphically extensifer then X is holomorphically extensifer outside the codimension at least two.

As consequences of these results. We obtain any compact homogeneous manifold is holomorphically extensifer outside the codimension at least 2, and any compact almost homogeneous Kähler manifold is meromorphically extensifer.


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique