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Bulletin de la SMF - Parutions - 118 - pages 193-209

Parutions118

Rings of differential operators over rational affine curves
Gail Letzter - Leonid Makar-Limanov
Bulletin de la Société mathématique de France 118, fascicule 2 (1990), 193-209
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Résumé :
Soit X une courbe algébrique irréductible sur $
\mathbb {C}
$ dont la normalisée est la droite affine et telle sur le morphisme de normalisation est injectif. Soit D(X) l'anneau des opérateurs différentiels sur X. Nous étudions un invariant pour l'anneau D(X) des opérateurs différentiels sur X, noté $\mathrm {codim}\, D(X)$. En particulier, nous montrons que $D(X)\cong D(Y)$ implique $\mathrm {codim}\, D(X)=\mathrm {codim}\, D(Y)$. Cela permet de distinguer dans certains cas les anneaux d'opérateurs différentiels de courbes non-isomorphes. En outre, nous décrivons les sous-algèbres $\mathrm {ad}$-nilpotentes maximales de D(X). Nous montrons que si B est une sous-algèbre $\mathrm {ad}$-nilpotente maximales de D(X), alors B est un sous-anneau de type fini d'un $
\mathbb {C}
[b]$b désigne un élément du corps des fractions de D(X) ; de plus, la clôture intégrale de B est $
\mathbb {C}
[b]$.

Abstract:
Let X be an irreducible algebraic curve over the complex numbers such that its normalization is the affine line, and the normalization map is injective. Let D(X) denote its ring of differential operators. We find an invariant for D(X) denoted as $\mathrm {codim}\, D(X)$. In particular, we show that $D(X)\cong D(Y)$ implies $\mathrm {codim}\, D(X)=\mathrm {codim}\, D(Y)$. This allows us to distinguish certain rings of differential operators of non-isomorphic curves. We also describe the maximal $\mathrm {ad}$-nilpotent subalgebras of D(X). We show that if B is a maximal $\mathrm {ad}$-nilpotent subalgebra of D(X), then B is a finitely generated subring of $
\mathbb {C}
[b]$ for some element b of the quotient field of D(X) and the integral closure of B is $
\mathbb {C}
[b]$.


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique