Soit $X$ une courbe algébrique irréductible sur $\mathbb {C}$ dont la normalisée est la droite affine et telle sur le morphisme de normalisation est injectif. Soit $D(X)$ l'anneau des opérateurs différentiels sur $X$. Nous étudions un invariant pour l'anneau $D(X)$ des opérateurs différentiels sur $X$, noté $\mathrm {codim}\, D(X)$. En particulier, nous montrons que $D(X)\cong D(Y)$ implique $\mathrm {codim}\, D(X)=\mathrm {codim}\, D(Y)$. Cela permet de distinguer dans certains cas les anneaux d'opérateurs différentiels de courbes non-isomorphes. En outre, nous décrivons les sous-algèbres $\mathrm {ad}$-nilpotentes maximales de $D(X)$. Nous montrons que si $B$ est une sous-algèbre $\mathrm {ad}$-nilpotente maximales de $D(X)$, alors $B$ est un sous-anneau de type fini d'un $\mathbb {C}[b]$ où $b$ désigne un élément du corps des fractions de $D(X)$ ; de plus, la clôture intégrale de $B$ est $\mathbb {C}[b]$.