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Bulletin de la SMF - Parutions - 117 - pages 451-477

Parutions117

Les endomorphismes $
\mathfrak {k}
$-finis des modules de Whittaker
Aboubeker Zahid
Bulletin de la Société mathématique de France 117, fascicule 4 (1989), 451-477
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Résumé :
Soit $
\mathfrak {g}
$ une algèbre de Lie semi-simple complexe, $\mathrm {Wh}$ un module de Whittaker simple. On donne une décomposition de l'algèbre des endomorphismes $
\mathfrak {k}
$-finis, de $\mathrm {Wh}$ dans $\mathrm {Wh}$, en somme directe de modules de Harish-Chandra simples, suivant le groupe P(R)/Q(R). Ceci étant fait, pour un choix très particulier du caractère central du module de Whittaker, on peut par un principe de translation par les éléments de P( R), récupérer le résultat pour les autres caractères. On obtient en particulier une famille de suralgèbres $
\mathfrak {k}
$-finis de l'algèbre enveloppante de $
\mathfrak {g}
$. Ces suralgèbres semblent très intéressantes à étudier ; en effet on obtient dans le cas de $
\mathfrak {g}
=
\mathfrak {sl}
_2({
\mathbb {C}
})$, soit l'algèbre de Weyl A1, soit en translatant, l'algèbre des opérateurs différentiels sur une courbe singulière. Dans le cas de $
\mathfrak {g}
=
\mathfrak {sl}
_3({
\mathbb {C}
})$, on obtient le quotient de l'algèbre enveloppante de l'algèbre de Lie exceptionnelle de dimension 14, par un idéal primitif complètement premier.

Abstract:
Let $
\mathfrak {g}
$ be a complex semisimple Lie algebra, and let $\mathrm {Wh}$ a simple Whittaker module. We give a decomposition of the algebra of $
\mathfrak {k}
$-finite vectors of $\mathrm {End}_{
\mathbb {C}
}(\mathrm {Wh})$, as direct sum of Harish-chandra submodules. We then obtain a family of over rings of certain primitives quotients of enveloping algebras. In the cases $
\mathfrak {g}
=
\mathfrak {sl}
_2({
\mathbb {C}
})$ and $
\mathfrak {g}
=
\mathfrak {sl}
_3({
\mathbb {C}
})$ the structure of this rings is uniquely determined by their structure of $
\mathfrak {g}
$-module.


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique