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Bulletin de la SMF - Parutions - 117 - pages 415-444

Parutions117

Construction analytique rigide de variétés abéliennes
Marius van der Put - Marc Reversat
Bulletin de la Société mathématique de France 117, fascicule 4 (1989), 415-444
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Résumé :
Soient R un anneau de valuation (non nécessairement discrète), K son corps des fractions, $0\rightarrow T\rightarrow G\rightarrow A\rightarrow 0$ une extension d'un R-schéma abélien A par une tore T sur R déployé et $\Lambda \subset G\otimes _{R} K$ un sous-groupe libre de rang le rang de T. Si $\Lambda $ est un réseau de $G\otimes _{R}K$ (cf. (1.6)), alors $(G\otimes _{R}K)/\Lambda $ est canoniquement muni d'une structure de groupe analytique propre sur K. La partie principale de ce travail consiste à donner des conditions nécessaires et suffisantes pour que $(G\otimes _{R}K)/\Lambda $ soit une variété abélienne.

Abstract:
Let R be a complete valuation ring (may be not discrete) and K its field of fraction. Let $0\rightarrow T\rightarrow G\rightarrow A\rightarrow 0$ be an extension of an abelian R-scheme A by a split R-torus and let $\Lambda \subset G\otimes _{R}$ K be a free subgroup of rand = $\mathrm {rk}(T)$. If $\Lambda $ satisfies some other natural conditions (we say that $\Lambda $ is a lattice in $G\otimes _{R}K$), then $(G\otimes _{R}K)/\Lambda $ is canonically a proper rigid analytic group over K. The main part of this work is to give necessary and sufficient condition for $(G\otimes _{R}K)/\Lambda $ to be an abelian variety.


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique