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Bulletin de la SMF - Parutions - 117 - pages 285-295

Parutions117

Some remarks about algebraic independence measures in high dimension
Francesco Amoroso
Bulletin de la Société mathématique de France 117, fascicule 3 (1989), 285-295
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Résumé :
Pour $\omega \in 
\mathbb {C}
^n$ et $k\in 
\mathbb {N}
$, $1\le k\le n$, il est possible de définir deux mesures. La première est la mesure d'indépendance algébrique, qui donne une minoration de la grandeur en $\omega $ d'un idéal I de polynômes de codimension k. La deuxième est la mesure d'approximation, qui donne une minoration d'approximabilité des coordonnées de $\omega $ par des nombres algébriques sur une extension transcendante pure de $
\mathbb 
Q$ de dimension n-k.

En une variable, ces mesures sont équivalentes entre elles. En plusieurs variables les relations qui les lient ne semblent pas optimales. Dans ce texte nous étudions des mesures d'indépendance algébrique pour « idéaux lisses » afin d'établir des relations plus précises avec les mesures d'approximation.

Abstract:
For $\omega \in 
\mathbb {C}
^n$ and $k\in 
\mathbb {N}
$, $1\le k\le n$, it is possible to define two different measures. Firstly, an algebraic independence measure, which gives a lower bound for the ``smallness'' at $\omega $ of a k-rank ideal I of polynomials; secondly an approximation measure, which provides a lower bound for the approximability of $\omega $ with n-tuples of complex numbers, algebraic over a pure transcendental extension of dimension n-k over the rationals. If n=1 these measures are equivalent, but in higher dimensions the relations between them do not seem to be optimal. In this paper algebraic independence measures ``for smooth ideal'' are analyzed and a stronger relation between them and approximation measures is found.


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique