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Bulletin de la SMF - Parutions - 117 - pages 129-165

Parutions117

Cohomologie T-équivariante de la variété de drapeaux d'un groupe de Kac-Moody
Alberto Arabia
Bulletin de la Société mathématique de France 117, fascicule 2 (1989), 129-165

Résumé :
On définit des opérateurs $\mathcal {A}_{i}$ de Bernstein-Gel'fand-Gel'fand sur la cohomologie T-équivariante entière $H^{*}_T(\mathcal {F})$ de la variété de drapeaux $\mathcal {F}=G/B$ d'un groupe de Kac-Moody G. En intégrant sur les variétés de Schubert de $\mathcal {F}$, on caractérise une famille $\{\mathcal {L}_{w}\}_{w\in { W}}$ de formes $H^{*}_T(\,\cdot \,)$-linéaires sur $H^{*}_T(\mathcal {F})$, base du dual de $H^{*}_T(\mathcal {F})$. Ces formes canoniques sont liées aux opérateurs $\mathcal {A}_{i}$ par l'égalité $\mathcal {L}_{wr_{i}}=\mathcal {L}_{w}\mathcal {A}_{i}$ lorsque wri>w, ce qui entraîne le caractère intrinsèque des composées $\mathcal {A}_{w}$ des opérateurs en question. On prouve que les $\mathcal {A}_{w}$ peuvent être obtenus par intégration sur les fibres de certaines fibrations au-dessus de $\mathcal {F}$.

Par restriction au sous-espace W des points fixes de T dans $\mathcal {F}$, on donne un homomorphisme injectif $\Theta $ de $H^{*}_T(\mathcal {F})$ dans l'algèbre F(W;Q) de toutes les applications définies sur W à valeurs dans le corps Q des fractions rationnelles de l'algèbre de polynômes $S=
\mathbb {Z}
[\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}]$, où $\{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\}$ dénote le système des racines simples de l'algèbre de Lie de G. Des formules explicites pour les localisations des formes $\mathcal {L}_w$ sur F(W;Q) sont données. On détermine de même les localisations Ai des $\mathcal {A}_{i}$ sur F(W;Q) nous permettant de caractériser algébriquement l'image de $\Theta $ comme la plus grande partie de F(W;S) constituée des applications de degrés bornés et stable sous l'action des opérateurs Ai, celle-ci s'identifie alors facilement à l'algèbre $\Lambda $ de B. Kostant et S. Kumar, expliquant les principaux résultats de [12] et [13].

Abstract:
Bernstein-Gel'fand-Gel'fand operators $\mathcal {A}_{i}$ are defined over the integral T-equivariant cohomology $H^{*}_T(\mathcal {F})$ of the flag variety $\mathcal {F}=G/B$ of a Kac-Moody group G. By integration over the Schubert varieties of $\mathcal {F}$, we characterise a family $\{\mathcal {L}_{w}\}_{w\in { W}}$ of $H^{*}_T(\,\cdot \,)$-linear forms over $H^{*}_T(\mathcal {F})$, base of the dual of $H^{*}_T(\mathcal {F})$. These canonical forms are related to the operators $\mathcal {A}_{i}$ by the equality $\mathcal {L}_{wr_{i}}=\mathcal {L}_{w}\mathcal {A}_{i}$ whenever wri>w, implying the intrinsic character of the compositions $\mathcal {A}_{w}$ of the $\mathcal {A}_{i}$'s. We show that each $\mathcal {A}_{w}$ can be obtained by integration over fibers of certains fibrations above $\mathcal {F}$.

By restriction to the sub-space W of T-fixed points of $\mathcal {F}$, we give an injectif homomorphism $\Theta $ from $H^{*}_T(\mathcal {F})$ into the algebra F( W;Q) of all maps defined on W with values in the fraction field Q of the polynomial algebra $S=
\mathbb {Z}
[\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}]$, where $\{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\}$ denotes the simple root system of the Lie algebra of G. Explicit formulas for the localisations of the $\mathcal {L}_w$'s over F( W;Q) are given. We determine also the localisations Ai's of the $\mathcal {A}_{i}$'s over F( W;Q), which allows us to characterise algebraically the image of $\Theta $ as the greatest subset of F( W;S) of maps of bounded degrees stable under the action of the Ai's, we then easily identify this image to the Kostant-Kumar algebra $\Lambda $, explaining the principal results of [12] and [13].


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique