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Bulletin de la SMF - Parutions - 117 - pages 103-119

Parutions117

Critère d'exactitude pour les formes de degré 1 sur les quadriques complexes
Jacques Gasqui - Hubert Goldschmidt
Bulletin de la Société mathématique de France 117, fascicule 1 (1989), 103-119
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Résumé :
Soit (X,g) une variété riemannienne compacte. Une forme différentielle de degré 1 sur X est à énergie nulle si son intégrale le long de toute géodésique fermée de X est nulle. Dans le cas où (X,g) est une grassmannienne complexe ou réelle, simplement connexe et non isométrique à $
\mathbb {P}
^1(
\mathbb {C}
)$ ou $
\mathbb {P}
^1(
\mathbb {C}
)\times 
\mathbb {P}
^1(
\mathbb {C}
)$, nous montrons que les seules formes de degré 1, à énergie nulle, sont exactes.

Abstract:
We say that a 1-form $\alpha $ on a compact Riemannian manifold (X,g) satisfies the zero-energy condition if the integrals of $\alpha $ over the closed geodesics of X vanish. If (X,g) is a real or complex simply-connected Grassmannian, which is not isometric to $
\mathbb {CP}
^1$ or $
\mathbb {CP}
^1\times 
\mathbb {CP}
^1$, we prove that a 1-form on X satisfying the zero-energy condition is exact.


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique