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Astérisque - Parutions - 404 (2018)

Parutions < 2018

Feynman-Kac formulas for the ultra-violet renormalized Nelson model
Oliver MATTE, Jacob Schach MØLLER
Astérisque 404 (2018), vi+110 pages
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Résumé :
Formules de Feynman-Kac pour le modèle de Nelson ultra-violet renormalisée
On s'intéresse à la dérivation des formules de Feynman-Kac pour l'Hamiltonien du modèle de Nelson ultra-violet renormalisée avec potentiel Kato-décomposable, et pour les fibré Hamiltoniens correspondants dans le cas de l'invariance par translation. On traite simultanément des bosons lourds et sans masse. On présente également une construction non perturbative de l'Hamiltonien de Nelson renormalisée dans une représentation de non-Fock, définie comme étant le générateur du semi-groupe de Feyman-Kac associé. La nouvelle approche de l'analyse des valeurs moyennes associées au vide des intégrandes de Feynman-Kac montre que, en l'absence de potentiel externe et dans le cas où le principe de Pauli est ignoré, le spectre de l'Hamiltonien du modèle de Nelson avec N particules est minoré par une constante négative universelle multipliée par g^4N^3, pour n'importe quelle valeur de la constante de couplage g. Un argument variationnel permet également d'obtenir une majoration faisant intervenir une quantité analogue, pour de grandes valeurs de g^2N. On vérifie de plus que le semi-groupe généré par l'Hamiltonien du modèle de Nelson ultra-violet renormalisée améliore la positivité par rapport à un cône auto-dual naturel, pourvu que le principe de Pauli est exclut. Une partie de l'étude s'intéresse également aux propriétés de continuité des éléments de l'image du semi-groupe associé à l'Hamiltonien de Nelson renormalisée.

Mots-clefs : Modèle de Nelson, formule de Feynman-Kac, renormalisation, représentation de non-Fock, argument de Perron-Frobenius.

Abstract:
We derive Feynman-Kac formulas for the ultra-violet renormalized Nelson Hamiltonian with a Kato decomposable external potential and for corresponding fiber Hamiltonians in the translation invariant case. We simultaneously treat massive and massless bosons. Furthermore, we present a non-perturbative construction of a renormalized Nelson Hamiltonian in a non-Fock representation defined as the generator of a corresponding Feynman-Kac semi-group. Our novel analysis of the vacuum expectation of the Feynman-Kac integrands shows that, if the external potential and the Pauli-principle are dropped, then the spectrum of the N-particle renormalized Nelson Hamiltonian is bounded from below by some negative universal constant times g^4N^3, for all values of the coupling constant g. A variational argument also yields an upper bound of the same form for large g^2N. We further verify that the semi-groups generated by the ultra-violet renormalized Nelson Hamiltonian and its non-Fock version are positivity improving with respect to a natural self-dual cone, if the Pauli principle is ignored. In another application we discuss continuity properties of elements in the range of the semi-group of the renormalized Nelson Hamiltonian.

Keywords: Nelson model, Feynman-Kac formula, renormalization, non-Fock representation, Perron-Frobenius arguments.

Class. math. : 47D08, 60H30, 81T16, 81V99


ISBN : 978-2-85629-893-0
ISSN : 0303-1179 (print) 2942-5926 (electronic)
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique