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Astérisque - Parutions - 401 (2018)

Parutions < 2018

Parametrix for wave equations on a rough background III: space-time regularity of the phase
Jérémie SZEFTEL
Astérisque 401 (2018), viii+321 pages
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Résumé :
Parametrix pour l'équation des ondes sur un espace-temps peu régulier III: régularité espace-temps de la phase
Cet ouvrage est dédié à la construction et au contrôle d'une paramétrix pour l'équation des ondes homogènes _g =0, où g est une métrique peu régulière satisfaisant les équations d'Einstein dans le vide. Le contrôle d'une telle paramétrix et du terme d'erreur associé quand on suppose seulement des bornes L^2 sur le tenseur de courbure R de g est une étape cruciale de la preuve de la conjecture de courbure L^2 proposée en l'an 2000 et résolue en 2015 par S. Klainerman, I. Rodnianski et l'auteur. Plus généralement, cet ouvrage concerne le contrôle de l'équation eikonale sur un espace-temps peu régulier et la dérivation de bornes L^2 pour des opérateurs intégraux de Fourier sur des variétés avec une phase et un symbole peu réguliers, et possède de ce point vue un intérêt propre.

Mots-clefs : Équations d'Einstein, équations d'onde, équation eikonale, solutions peu régulières

Abstract:
This book is dedicated to the construction and the control of a parametrix to the homogeneous wave equation _g =0, where g is a rough metric satisfying the Einstein vacuum equations. Controlling such a parametrix as well as its error term when one only assumes L^2 bounds on the curvature tensor R of g is a major step of the proof of the bounded L^2 curvature conjecture proposed by Sergiu Klainerman and solved by Sergiu Klainerman, Igor Rodnianski and the author. On a more general level, this book deals with the control of the eikonal equation on a rough background, and with the derivation of L^2 bounds for Fourier integral operators on manifolds with rough phases and symbols, and as such is also of independent interest.

Keywords: Einstein equations, wave equation, eikonal equation, rough solutions

Class. math. : Primary 83C05; Secondary 35Q75, 58J45


ISBN : 978-2-85629-882-4
ISSN : 0303-1179 (print) 2942-5926 (electronic)
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique