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Astérisque - Parutions - 400 (2018)

Parutions < 2018

Families of Berkovich spaces
Antoine Ducros
Astérisque 400 (2018), vi+262 pages
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Résumé :
Familles d'espaces de Berkovich
Ce livre étudie en gros la façon dont varient les propriétés des fibres d'un morphisme en géométrie analytique au sens de Berkovich. Nous nous intéressons tout d'abord à la platitude dans ce contexte; la définition naïve de ce concept n'est pas raisonnable ici, nous expliquons pourquoi et en proposons une autre. Nous cherchons ensuite à décrire les lieux de validité relative (c'est-à-dire dans les fibres) de certaines propriétés usuelles (comme être de Cohen-Macaulay, de Gorenstein, géométriquement régulier) ; nous montrons que ce sont des parties (localement) Zariski-constructibles de l'espace source. Pour ce faire, nous développons des méthodes systématiques permettant de propager en géométrie de Berkovich, comme on le fait en théorie de schémas, certaines propriétés d'une fibre « générique » à un voisinage de celle-ci.

Mots-clefs : Espaces de Berkovich, platitude, propriétés relatives, lieux constructibles

Abstract:
This book investigates, roughly speaking, the variation of the properties of the fibers of a map between analytic spaces in the sense of Berkovich. First of all, we study flatness in this setting; the naive definition of this notion is not reasonable, we explain why and give another one. We then describe the loci of fiberwise validity of some usual properties (like being Cohen-Macaulay, Gorenstein, geometrically regular…); we show that these are (locally) Zariski-constructible subsets of the source space. For that purpose, we develop systematic methods for “spreading out” in Berkovich geometry, as one does in scheme theory, some properties from a generic'' fiber to a neighborhood of it.

Keywords: Berkovich spaces, flatness, relative properties, constructible loci

Class. math. : 14G22, 14A99


ISBN : 978-2-85629-885-5
ISSN : 0303-1179 (print) 2942-5926 (electronic)
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique