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Astérisque - Parutions - 389 (2017)

Parutions < 2017

The cubic Szegő equation and Hankel operators
Sandrine Grellier, Patrick Gérard
Astérisque 389 (2017), vi+ 114 pages
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Résumé :
Équation de Szegő cubique et opérateurs de Hankel
Cette monographie est consacrée à l'étude de la dynamique, dans les espaces de Sobolev, de l'équation de Szegő cubique sur le cercle ^1, equation* i_t u=(u^2u), equation* où désigne le projecteur orthogonal de L^2(^1) sur le sous-espace L^2_+(^1) des fonctions à modes de Fourier positifs ou nuls. On construit une transformée de Fourier non linéaire sur H^1/2(^1)L^2_+(^1) permettant de résoudre explicitement cette équation avec données initiales dans H^1/2(^1)L^2_+(^1). Ces formules explicites entraînent la presque périodicité des solutions dans cet espace. Par ailleurs, elles permettent de mettre en évidence le phénomène de turbulence suivant. Pour un G_ dense de données initiales de C^(^1)L^2_+(^1), les solutions tendent vers l'infini à vitesse sur–polynomiale en norme H^s(^1) pour tout s>12 sur une suite de temps, alors qu'elles retournent vers leur donnée initiale sur une autre suite de temps tendant vers l'infini. Cette transformation est définie via la résolution d'un problème spectral inverse lié aux valeurs singulières d'un opérateur de Hankel Hilbert-Schmidt et de son opérateur décalé.

Mots-clefs : Équation de Szegő cubique, système intégrable, équation de Schrödinger non linéaire, opérateur de Hankel, analyse spectrale

Abstract:
This monograph is devoted to the dynamics on Sobolev spaces of the cubic Szegő equation on the circle ^1, equation* i_t u=(u^2u). equation* Here denotes the orthogonal projector from L^2(^1) onto the subspace L^2_+(^1) of functions with nonnegative Fourier modes. We construct a nonlinear Fourier transformation on H^1/2(^1)L^2_+(^1) allowing to describe explicitly the solutions of this equation with data in H^1/2(^1)L^2_+(^1). This explicit description implies almost-periodicity of every solution in this space. Furthermore, it allows to display the following turbulence phenomenon. For a dense G_ subset of initial data in C^(^1)L^2_+(^1), the solutions tend to infinity in H^s for every s>12 with super–polynomial growth on some sequence of times, while they go back to their initial data on another sequence of times tending to infinity. This transformation is defined by solving a general inverse spectral problem involving singular values of a Hilbert–Schmidt Hankel operator and of its shifted Hankel operator.

Keywords: Cubic Szegő equation, integrable system, nonlinear Schrödinger equation, Hankel operator, spectral analysis

Class. math. : 35B15, 47B35, 37K15


ISBN : 978-2-85629-854-1
ISSN : print :0303-1179, electronic 2492-5926
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique