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Astérisque - Parutions - 389 (2017)

Parutions < 2017

The cubic Szegő equation and Hankel operators
Sandrine Grellier, Patrick Gérard
Astérisque 389 (2017), vi+ 114 pages
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Résumé :
Équation de Szegő cubique et opérateurs de Hankel
Cette monographie est consacrée à l'étude de la dynamique, dans les espaces de Sobolev, de l'équation de Szegő cubique, qui est un système hamiltonien sur l'espace de Hardy du disque admettant une paire de Lax impliquant les opérateurs de Hankel. On construit une transformée de Fourier non linéaire sur l'espace de Dirichlet constitué des fonctions holomorphes sur le disque admettant une dérivée de carré intégrable, permettant de résoudre explicitement cette équation avec données initiales dans cet espace. Ces formules explicites entraînent la presque périodicité des solutions dans l'espace de Dirichlet. Par ailleurs, elles permettent de mettre en évidence le phénomène de turbulence suivant. Pour un ensemble résiduel de données initiales dans l'espace de Fréchet des fonctions régulières sur le cercle se prolongeant holomorphiquement au disque, les solutions de l'équation de Szegő cubique tendent vers l'infini à une vitesse sur–polynomiale dans l'espace de Sobolev de régularité s pour toute s>12, sur une suite de temps, alors qu'elles retournent vers leur donnée initiale sur une autre suite de temps tendant vers l'infini. Cette transformation est définie via la résolution d'un problème spectral inverse lié aux valeurs singulières d'un opérateur de Hankel Hilbert-Schmidt et de l'opérateur décalé associé.

Mots-clefs : Équation de Szegő cubique, système intégrable, équation de Schrödinger non linéaire, opérateur de Hankel, analyse spectrale

Abstract:
This monograph is devoted to the dynamics on Sobolev spaces of the cubic Szegő equation, which is a Hamiltonian system on the Hardy space of the disc admitting a Lax pair structure involving Hankel operators. We construct a nonlinear Fourier transformation on the Dirichlet space made of holomorphic functions on the disc having a square integrable first derivative, allowing to describe explicitly the solutions of this equation with data in this space. This explicit description implies almost-periodicity of every solution in the Dirichlet space. Furthermore, it allows to display the following turbulence phenomenon. For a residual subset of initial data in the Fréchet space of smooth functions on the circle which extend holomorphically to the disc, the solutions of the cubic Szegő equation tend to infinity in the Sobolev space of regularity s for every s>12, with a super–polynomial growth on some sequence of times, while they go back to their initial data on another sequence of times tending to infinity. This transformation is defined by solving a general inverse spectral problem involving singular values of a Hilbert–Schmidt Hankel operator and of rthe associated shifted Hankel operator.

Keywords: Cubic Szegő equation, integrable system, nonlinear Schrödinger equation, Hankel operator, spectral analysis

Class. math. : 35B15, 47B35, 37K15


ISBN : 978-2-85629-854-1
ISSN : print :0303-1179, electronic 2492-5926
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique