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Astérisque - Parutions - 386 (2017)

Parutions < 2017

Représentations des espaces tordus sur un groupe réductif connexe p-adique
Bertrand Lemaire, Guy Henniart
Astérisque 386 (2017), 376 pages
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Résumé :
Soit F un corps commutatif localement compact non archimédien, de caractéristique quelconque. Soient G un groupe réductif connexe défini sur F, et G^ un G-espace tordu lui aussi défini sur F. On suppose que l'ensemble G^(F) n'est pas vide, et on le munit de la topologie définie par F. On fixe un caractère (i.e. un homomorphisme continu dans C^) de G(F). Dans ce mémoire, on développe la théorie des -représentations (complexes, lisses) de G^(F) à partir de celle des représentations de G(F). Une -représentation de G^(F) est par définition la donnée d'une représentation (,V) de G(F) et d'une application de G^(F) dans le groupe des C-automorphismes de V telle que (xy) = (x) ()()(y) pour tout G^(F) et tous x, yG(F). Si la représentation sous-jacente de G(F) est admissible, on peut définir le caractère _ de , qui est une distribution sur G^(F). Les principaux résultats prouvés dans ce mémoire sont: itemize si est de longueur finie, alors la distribution _ est donnée par une fonction localement constante sur l'ouvert des éléments (quasi-)réguliers de G^(F); le théorème de Paley-Wiener scalaire, qui décrit l'image de la transformée de Fourier – l'application qui à une fonction localement constante et à support compact  sur G^(F) associe la forme linéaire _() sur un groupe de Grothendieck adéquat; le théorème de densité spectrale, qui décrit le noyau de la transformée de Fourier.

Mots-clefs : Corps local non archimédien, caractère-distribution, espace tordu, caractère (tordu), élément quasi-semi-simple, élément quasi-régulier, fonction caractère, formule d'intégration de Weyl, groupe réductif, intégrale orbitale, représentation admissible, théorème de densité spectrale, transformée de Fourier, théorème de Paley-Wiener

Abstract:
Representations of twisted spaces on a connected reductive p-adic group
Let F be a locally compact non-Archimedean field, of any characteristic. Let G be a connected reductive group defined over F, and G^ be a twisted G-space also defined over F. The set G^(F) is assumed to be non-empty, and it is endowed with the topology defined by F. We fix a character (i.e. a continuous homomorphism in C^) of G(F). In this memoir, we study the theory of (complex, smooth) -representations of G^(F), from that of representations of G(F). An -representation of G^(F) is given by a representation (,V) of G(F) and a map from G^(F) into the group of C-automorphisms of V, such that (xy) = (x) ()()(y) for all G^(F) and all x, yG(F). If the underlying representation of G(F) is admissible, we can define the character _ of , which is a distribution on G^(F). The main results proved in this memoir are: itemize if is of finite length, then the distribution _ is given by a locally constant function on the open set of (quasi-)regular elements in G^(F); the scalar Paley-Wiener theorem, which describes the image of the Fourier transform – the map which associate to a compactly supported locally constant function on G^(F) the linear form _() on a suitable Grothendieck group; the spectral density theorem, which describes the kernel of the Fourier transform. itemize

Keywords: Admissible representation, non-Archimedean local field, distribution-character, Fourier transform, function character, orbital integral, Paley-Wiener theorem quasi-regular element, quasi-semisimple element, reductive group, spectral density theorem, (twisted) character, twisted space, Weyl integration formula

Class. math. : 22E50


ISBN : 978-2-85629-851-0
ISSN : print 0303-1179, electronic 2492-5926
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique