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Astérisque - Parutions - 1 (2017)

Parutions < 2017

Trois problèmes sur les sommes trigonométriques (réimpresssion numéro 1 - 1973)
Yves Meyer
Astérisque 1 (2017), iv +89 pages
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Résumé :
Dans ce livre, écrit il y a maintenant quarante cinq ans, trois problèmes concernant les sommes trigonométriques avaient été abordés. Aujourd'hui le second chapitre est devenu le plus important, car il a conduit à la théorie mathématique des quasi-cristaux et aux travaux d'Alexander Olevskii et de ses collaborateurs sur l'échantillonnage irrégulier. C'est pourquoi la Société Mathématique de France a jugé bon de réimprimer cet ouvrage. Dans la postface, nous avons résumé les développements récents de certains des thèmes que nous avions étudiés dans la première édition.

Mots-clefs : Somme trigonométrique, fonction presque périodique, vibration, comportement asymptotique, ensemble modèle, nombre de Pisot.

Abstract:
Three problems about trigonometric sums
Almost periodic functions have been defined and studied by the Danish mathematician Harald Bohr. Bohr's motivations were number theory and Dirichlet series. A trigonometric polynomial S(x) is a function of the real variable x defined by S(x)=_1^N c_k(2i _k x) were the frequencies _k are arbitrary real numbers and the coefficients c_k are real or complex numbers. An almost periodic function in the sense given by Bohr is a uniform limit on R of a sequence S_m of trigonometric polynomials. This definition leads to the computation or estimation of _xR|S(x)|=S_ which is often a hard problem. Let us define T()>0 as the lower bound of the set of |x| such that |S(x)|(1-)S_. The estimation of T() as 0 depends on the arithmetical property of the set of frequencies _k. This booklet is devoted to these issues which are illustrated on three examples.

Keywords: Trigonometric sum, almost periodic function, vibration, asymptotic behavior, model set, Pisot numbers.

Class. math. : 42A16, 42A75, 42B37


ISBN : 978-2-85629-433-8
ISSN : 0303-1179 (print), 2492-5926 (electronic)
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique