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Astérisque - Parutions - 384 (2016)

Parutions < 2016

Quantizations of conical symplectic resolutions
Tom Braden and Anthony Licata and Nicholas Proudfoot and Ben Webster
Astérisque 384 (2016), xii+179 pages
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Sommaire

Résumé :
Quantifications des résolutions symplectiques coniques
Nous réexaminons certains sujets dans la théorie de la représentation d'algèbres de Lie et la théorie de Springer dans un contexte plus général, considérant l'algèbre enveloppante comme un exemple d'un anneau des sections d'une quantification d'une résolution symplectique conique. Alors que la modification de ce contexte classique est nécessaire, plusieurs caractéristiques familiers survivent. Nous étudions comment cette approche s'applique à d'autres résolutions symplectiques quantifiées, y compris les variétés carquoises et hypertoriques. Cela fournit un nouveau contexte pour les résultats connus sur les algèbres de Lie, les algèbres de Cherednik, les algèbres W finies, et les algèbres enveloppantes hypertoriques, tout en nous référant à l'étude de nouvelles algèbres découlant des résolutions plus générales. Dans la partie I, nous considérons une version du théorème de localisation de Beilinson-Bernstein, la théorie de bimodules de Harish-Chandra et leurs relations aux opérateurs de convolution cohomologique, et une action d'un groupe discret sur la catégorie dérivée de représentations, en généralisant l'action du groupe de tresses sur la catégorie O par foncteurs de twist. Dans la partie II, nous définissons et etudions la catégorie O pour une résolution symplectique, généralisant la catégorie O classique de BGG, qui est associée à la résolution de Springer. Cela inclut le développement de propriétés intrinsèques en parallèle du cas de BGG, tels que la structure de plus haut poids et des analogues des foncteurs de twist et de battage, avec une discussion approfondie des exemples individuels. Nous observons que la catégorie O est souvent Koszul, et son Koszul dual est souvent équivalent à la catégorie O pour une autre résolution symplectique. Cela nous amène à définir la notion de dualité symplectique entre les résolutions symplectiques, qui est une collection d'isomorphismes entre des structures de la théorie des représentations et la géométrie, y compris une dualité de Koszul entre les deux catégories. Cette dualité a diverses conséquences cohomologiques, y compris (conjecturalement) une identification de deux réalisations géométriques, definie par Nakajima et Ginzburg/Mirković-Vilonen, des espaces de poids de simples représentations des groupes algébriques simples simplement lacées. Une annexe par Ivan Losev établit une étape-clé dans la preuve que O est de plus haut poids.

Abstract:
We re-examine some topics in representation theory of Lie algebras and Springer theory in a more general context, viewing the universal enveloping algebra as an example of the section ring of a quantization of a conical symplectic resolution. While some modification from this classical context is necessary, many familiar features survive. We study how this approach applies to other quantized symplectic resolutions, including quiver varieties and hypertoric varieties. This provides a new context for known results about Lie algebras, Cherednik algebras, finite W-algebras, and hypertoric enveloping algebras, while also pointing to the study of new algebras arising from more general resolutions. In part I, we consider a version of the Beilinson-Bernstein localization theorem, the theory of Harish-Chandra bimodules and their relationship to convolution operators on cohomology, and a discrete group action on the derived category of representations, generalizing the braid group action on category O via twisting functors. In part II, we define and study category O for a symplectic resolution, generalizing the classical BGG category O, which is associated with the Springer resolution. This includes the development of intrinsic properties paralleling the BGG case, such as a highest weight structure and analogues of twisting and shuffling functors, along with an extensive discussion of individual examples. We observe that category O is often Koszul, and its Koszul dual is often equivalent to category O for a different symplectic resolution. This leads us to define the notion of a symplectic duality between symplectic resolutions, which is a collection of isomorphisms between representation theoretic and geometric structures, including a Koszul duality between the two categories. This duality has various cohomological consequences, including (conjecturally) an identification of two geometric realizations, due to Nakajima and Ginzburg/Mirković-Vilonen, of weight spaces of simple representations of simply-laced simple algebraic groups. An appendix by Ivan Losev establishes a key step in the proof that O is highest weight.

Class. math. : 53D55, 16G99, 14M99, 17B10


ISBN : 978-2-85629-845-9
ISSN : 0303-1179
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique