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Astérisque - Parutions - 383 (2016)

Parutions < 2016

Subanalytic sheaves and Sobolev spaces
Stéphane Guillermou, Gilles Lebeau, Adam Parusiński, Pierre Schapira, Jean-Pierre Schneiders
Astérisque 383 (2016), xviii+120 pages
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Sommaire

Résumé :
Faisceaux sous-analytiques et espaces de Sobolev
Les faisceaux sur les variétés sont parfaitement adaptés à l'étude des problèmes locaux, mais de nombreux espaces que l'on rencontre naturellement, en particulier en Analyse, ne sont pas de nature locale. L'utilisation de la topologie sous-analytique (au sens de Grothendieck) sur les variétés analytiques réelles permet de surmonter partiellement cette difficulté et de définir par exemple des faisceaux de fonctions ou distributions à croissance tempérée, mais pas de préciser cette croissance. Dans ce volume, on introduit la topologie sous-analytique linéaire, un raffinement de la précédente et l'on construit divers objets de la catégorie dérivée des faisceaux sur le site sous-analytique à l'aide du théorème de representabilité de Brown. On construit en particulier les faisceaux de Sobolev. Ces objets ont la bonne propriété que les complexes de leurs sections sur les ouverts à frontière Lipschitz sont concentrés en degré zéro et coïncident avec les espaces de Sobolev classiques. Une autre application de cette topologie est qu'elle permet de munir fonctoriellement les D-modules holonomes réguliers de filtrations (au sens dérivé). Dans le cours du texte, on obtient aussi des résultats de géométrie sous-analytique et l'on fait une étude détaillée de la catégorie dérivée des objets filtrés dans les catégories monoidales symétriques.

Abstract:
Sheaves on manifolds are perfectly suited to treat local problems, but many spaces one naturally encounters, especially in Analysis, are not of local nature. The subanalytic topology (in the sense of Grothendieck) on real analytic manifolds allows one to partially overcome this difficulty and to define for example sheaves of functions or distributions with temperate growth, but not to make the growth precise. In this volume, one introduces the linear subanalytic topology, a refinement of the preceding one, and constructs various objects of the derived category of sheaves on the subanalytic site with the help of the Brown representability theorem. In particular one constructs the Sobolev sheaves. These objects have the nice property that the complexes of their sections on open subsets with Lipschitz boundaries are concentrated in degree zero and coincide with the classical Sobolev spaces. Another application of this topology is that it allows one to functorially endow regular holonomic D-modules with filtrations (in the derived sense). In the course of the text, one also obtains some results on subanalytic geometry and one makes a detailed study of the derived category of filtered objects in symmetric monoidal categories.

Keywords: Cylindrical decomposition, D-modules, derived categories, filtered modules, filtered objects, filtrations, Grothendieck topologies, moderate cohomology, quasi-abelian categories, sheaves, Sobolev spaces, subanalytic sets, subanalytic topology.

Class. math. : 16E35, 16W70, 18A25, 18D10, 18D35, 18F20, 32B20, 32C05, 32C38, 32S60, 46E35, 58A03, 58A03.


ISBN : 978-2-85629-844-2
ISSN : 0303-1179
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

Bibliographie:

1
2
Hörmander, Lars
The analysis of linear partial differential operators I, II
Springer, 1983
3
Kashiwara, Masaki
Faisceaux constructibles et systèmes holonômes d'équations aux dérivées partielles linéaires à points singuliers réguliers
in Séminaire Goulaouic-Schwartz, École polytech., Palaiseau, exp. no 19
(1980)
4
Kashiwara, Masaki
The Riemann-Hilbert problem for holonomic systems
Publ.RIMS, Kyoto Univ. 20 (1984) 319–365
5
Kashiwara, Masaki and Schapira, Pierre
Ind-sheaves
Astérisque 271 (2001)
Math Reviews MR1827714 (2002c:32015)
6
Kashiwara, Masaki and Schapira, Pierre
Microlocal study of ind-sheaves I: micro-support and regularity
Astérisque 284 (2003) 143–164
7
Lebeau, Gilles
Sobolev spaces and Sobolev sheaves
this volume
8
Parusiński, Adam
Regular subanalytic covers
this volume
9
Schapira, Pierre and Schneiders, Jean-Pierre
Derived category of filtered objects
this volume
10
Schneiders, Jean-Pierre
Quasi-abelian categories and sheaves
1999