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Astérisque - Parutions - 378 (2016)

Parutions < 2016

Geometric representations of the braid groups
Fabrice Castel
Astérisque 378 (2016), vi+175 pages
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Résumé :
Représentations géométriques des groupes de tresses
On appelle représentation géométrique toute représentation d'un groupe dans le groupe de difféotopies, couramment appelémapping class group, d'une surface. Soient _g,b la surface orientable, compacte et connexe de genre g possédant b composantes de bord et (_g,b) le groupe de difféotopies associé préservant chaque composante de bord. Le but de cet article est de décrire l'ensemble des représentations géométriques du groupe de tresses _n à n
  6 brins dans (_g,b), pour tous n, g, b pourvu que gn/2. On prouve que sous cette seule condition, de telles représentations sont soit cycliques, c'est-à-dire d'image cyclique, soit des transvections d'homomorphismes de monodromie, c'est-à-dire qu'à multiplication près par un élément du centralisateur de l'image, l'image d'un générateur standard de _n est un twist de Dehn, et l'image de deux générateurs standards consécutifs sont deux twists de Dehn le long de deux courbes s'intersectant en un point. De nombreux corollaires en découlent. On les prouvera dans de futurs articles, mais on explique ici comment chacun se déduit de notre théorème principal. Ces corollaires concernent cinq familles de groupes : les groupes de tresses _n pour tout n6, les groupes d'Artin de type D_n pour tout n6, les groupes d'Artin de type E_n pour tout n6,7,8, les groupes de difféotopies (_g,b) (préservant chaque composante de bord) et les groupes de difféotopies (_g,b,_g,b) (préservant le bord point par point), pour tout g2 et b0. Pour chacune de ces familles, excepté les groupes de type E_n, on décrira précisément la structure (toujours remarquable) des endomorphismes, on déterminera les endomorphismes injectifs, les automorphismes et le groupe d'automorphismes extérieurs. On décrira également l'ensemble des homomorphismes entre groupes de tresses _n_m avec mn+1 et l'ensemble des homomorphismes entre groupes de difféotopies de surfaces (éventuellement à bords) dont les genres (supérieurs à 2) diffèrent d'au plus 1. Concernant les groupes d'Artin de type E_n, on décrira toutes leurs représentations géométriques, et l'on déduira d'un théorème de Waynryb qu'aucune n'est injective.

Mots-clefs : surface, groupe de diffétopies, mapping class group, groupe de tresses, rigidité, représentation géométrique, classification de Nielsen Thurston, transvection, morphisme de monodromie

Abstract:
We define a geometric representation to be any representation of a group in the mapping class group of a surface. Let _g,b be the orientable connected compact surface of genus g with b boundary components, and (_g,b) the associated mapping class group globally preserving each boundary component. The aim of this paper consists in describing the set of the geometric representations of the braid group _n with n6 strands in (_g,b) subject to the only condition that gn/2. We prove that under this condition, such representations are either cyclic, that is, their images are cyclic groups, or are transvections of monodromy homomorphisms, that is, up to multiplication by an element in the centralizer of the image, the image of a standard generator of _n is a Dehn twist, and the images of two consecutive standard generators are two Dehn twists along two curves intersecting in one point. This leads to different results. They will be proved in later papers, but we explain how they are deduced from our main theorem. These corollaries concern four families of groups: the braid groups _n for all n6, the Artin groups of type D_n for all n6, the mapping class groups (_g,b) (preserving each boundary component) and the mapping class groups (_g,b,_g,b) (preserving the boundary pointwise), for g2 and b0. We describe the remarkable structure of the sets of the endomorphisms of these groups, their automorphisms and their outer automorphism groups. We also describe the set of the homomorphisms between braid groups _n_m with mn+1 and the set of the homomorphisms between mapping class groups of surfaces (possibly with boundary) whose genera (greater than or equal to 2) differ by at most one. Finally, we describe the set of the geometric representations of the Artin groups of type E_n (n6,7,8).

Keywords: surface, mapping class group, braid group, rigidity, geometric representation, Nielsen Thurston's classification, transvection, monodromy morphism

Class. math. : Primary 20F38, 57M07. Secondary 57M99, 20F36, 20E36, 57M05


ISBN : 978-2-85629-835-0
ISSN : 0303-1179
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique