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Astérisque - Parutions - 360 (2014)

Parutions < 2014

Arithmetic Geometry of Toric Varieties. Metrics, Measures and Heights
José Ignacio Burgos Gil, Patrice Philippon, Martín Sombra
Astérisque 360 (2014), vi+222 pages
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Résumé :
Géométrie arithmétique des variétés toriques. Métriques, me- sures et hauteurs
Nous montrons que la hauteur d’une variété torique relative à un fibré en droites métrisé torique s’écrit comme l’intégrale sur un polytope d’une certaine famille adé- lique de fonctions concaves. Afin d’énoncer et démontrer ce résultat, nous étudions la géométrie d’Arakelov des variétés toriques. En particulier, nous considérons des modèles de ces variétés sur des anneaux de valuation discrète, ainsi que les fibrés en droites métrisés et leurs mesures et hauteurs associées. Nous montrons que ces no- tions se traduisent en termes d’analyse convexe et sont intimement liées à des objets tels que les complexes polyhédraux, les mesures de Monge-Ampère et la dualité de Legendre-Fenchel. Nous présentons également une formule close pour l’intégration sur un polytope d’une fonction d’une variable composée avec une forme linéaire. Cette formule nous permet de calculer la hauteur de variétés toriques relativement à plusieurs métriques intéressantes, provenant de polytopes. Nous calculons aussi la hauteur des courbes toriques projectives relativement à la métrique de Fubini-Study et la hauteur des fibrés toriques.

Abstract:
We show that the height of a toric variety with respect to a toric metrized line bundle can be expressed as the integral over a polytope of a certain adelic family of concave functions. To state and prove this result, we study the Arakelov geometry of toric varieties. In particular, we consider models over a discrete valuation ring, metrized line bundles, and their associated measures and heights. We show that these notions can be translated in terms of convex analysis, and are closely related to objects like polyhedral complexes, concave functions, real Monge-Ampère measures, and Legendre-Fenchel duality. We also present a closed formula for the integral over a polytope of a function of one variable composed with a linear form. This formula allows us to compute the height of toric varieties with respect to some interesting metrics arising from polytopes. We also compute the height of toric projective curves with respect to the Fubini-Study metric and the height of some toric bundles.

Keywords: Toric variety, Berkovich space, integral model, metrized line bundle, height of a variety, concave function, Legendre-Fenchel dual, real Monge-Ampère measure.

Class. math. : Primary 14M25; Secondary 14G40, 52A41.


ISBN : 978-2-85629-783-4
ISSN : 0303-1179
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique