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Résumé :
Modules de déformation quantification
Sur une variété complexe (X,O_X) , un -algebroide A_X est un champ d'algébroides localement équivalent au faisceau O_X[[]] muni d'un star-produit et un -module est un objet de la catégorie dérivée (A_X) . Les résultats principaux sont:

la notion de -module cohomologiquement complet qui permet de déduire diverses propriétés d'un tel module des propriétés correspondantes du -module ,
un théorème de finitude qui assure que la convolution de deux -noyaux cohérents définis sur des variétés (), vérifiant certaines hypothèses de propreté, est cohérent (un théorème de Grauert non commutatif),
la construction du complexe dualisant pour les -modules cohérents et un théorème de dualité qui assure que la dualité commute avec la convolution (un théorème de Serre non commutatif),
la construction de la classe de Hochschild des -modules cohérents et le théorème qui assure que la classe de Hochschild commute avec la convolution,
dans le cas commutatif, le lien entre classes de Hochschild et classes de Chern et de Euler,
dans le cas symplectique, la constructibilité (et la perversité) du complexe des solutions d'un -module holonome dans un autre, après localisation en .

Ces notes peuvent donc être considérées à la fois comme une introduction à la géométrie analytique complexe non commutative et à l'étude des systèmes microdifférentiels sur les variétés de Poisson complexes.

Mots-clefs : Déformation quantification, DQ-modules, variétés de Poisson complexes, champs d'algebroides, convolution de noyaux, complexes dualisants, homologie de Hochschild, classes d'Euler, modules holonomes

Abstract:
On a complex manifold (X,O_X) , a -algebroid A_X is an algebroid stack locally equivalent to the sheaf O_X[[]] endowed with a star-product and a -module is an object of the derived category (A_X) . The main results are:

the notion of cohomologically complete -modules which allows one to deduce various properties of such a module from the corresponding properties of the -module ,
a finiteness theorem, which asserts that the convolution of two coherent -kernels defined on manifolds (), satisfying a suitable properness assumption, is coherent (a non commutative Grauert's theorem),
the construction of the dualizing complex for coherent -modules and a duality theorem which asserts that duality commutes with convolution (a non commutative Serre's theorem),
the construction of the Hochschild class of coherent -modules and the theorem which asserts that Hochschild class commutes with convolution,
in the commutative case, the link between Hochschild classes and Chern and Euler classes,
in the symplectic case, the constructibility (and perversity) of the complex of solutions of an holonomic -module into another one after localizing with respect to .

Hence, these Notes could be considered both as an introduction to non commutative complex analytic geometry and to the study of microdifferential systems on complex Poisson manifolds.

Keywords: Deformation quantization, DQ-modules, complex Poisson manifolds, algebroid stacks, convolution of kernels, dualizing complexes, Hochschild homology, Euler classes, holonomic modules

Class. math. : 53D55, 35A27, 19L10, 32C38

ISBN : 978-2-85629-345-4
ISSN : 0303-1179
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique