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Astérisque - Parutions - 341 (2012)

Parutions < 2012

A quasi-linear Birkhoff normal forms method. Application to the quasi-linear Klein-Gordon equation on S^1
J.-M. Delort
Astérisque 341 (2012), v+115 pages
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Résumé :
Une méthode de formes normales de Birkhoff quasi-linéaire. Application à l'équation quasi-linéaire de Klein-Gordon sur S^1
Considérons une équation de Klein-Gordon non-linéaire sur le cercle unité, à données régulières de taille 0. Appelons solution presque globale toute solution u, qui se prolonge pour tout sur un intervalle de temps ]-c_^-,c_^-[, pour un certain c_>0 et 0<<_. Il est connu que de telles solutions existent, et restent uniformément bornées dans des espaces de Sobolev d'ordre élevé, lorsque la non-linéarité de l'équation est un polynôme en u nul à l'ordre 2 à l'origine, et lorsque le paramètre de masse de l'équation reste en dehors d'un sous-ensemble de mesure nulle de _+^*. Le but de cet article est d'étendre ce résultat à des non-linéarités quasi-linéaires Hamiltoniennes générales. Il s'agit en effet des seules non-linéarités Hamiltoniennes qui puissent dépendre non seulement de u, mais aussi de sa dérivée en espace. Nous devons, pour obtenir le théorème principal, développer une méthode de formes normales de Birkhoff pour des équations quasi-linéaires.

Mots-clefs : Formes normales de Birkhoff, équations hamiltoniennes quasi-linéaires, existence presque globale, équation de Klein-Gordon

Abstract:
Consider a nonlinear Klein-Gordon equation on the unit circle, with smooth data of size 0. A solution u which, for any , may be extended as a smooth solution on a time-interval ]-c_^-,c_^-[ for some c_>0 and for 0<<_, is called an almost global solution. It is known that when the nonlinearity is a polynomial depending only on u, and vanishing at order at least 2 at the origin, any smooth small Cauchy data generate, as soon as the mass parameter in the equation stays outside a subset of zero measure of _+^*, an almost global solution, whose Sobolev norms of higher order stay uniformly bounded. The goal of this paper is to extend this result to general Hamiltonian quasi-linear nonlinearities. These are the only Hamiltonian non linearities that depend not only on u, but also on its space derivative. To prove the main theorem, we develop a Birkhoff normal form method for quasi-linear equations.

Keywords: Birkhoff normal forms, quasi-linear Hamiltonian equations, almost global existence, Klein-Gordon equation

Class. math. : 35L70, 35B45, 37K05, 35S50


ISBN : 978-2-85629-335-5
ISSN : 0303-1179
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

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