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Astérisque - Parutions - 325 (2009)

Parutions < 2009

Coarse expanding conformal dynamics
Peter Haïssinsky, Kevin M. Pilgrim
Astérisque 325 (2009), viii+139 pages
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Résumé :
Dynamique dilatante grossièrement conforme
Motivé par la dynamique des fractions rationnelles, on introduit une classe de systèmes dynamiques topologiques qui vérifient des propriétés de régularité topologique, d'expansivité, d'irréductibilité et de finitude. Nous les nommons topologiquement dilatantes et grossièrement conformes(top. CXC). Étant donnée une telle transformation f: X X et un recouvrement de X par des ouverts connexes, on construit un graphe infini hyperbolique au sens de M. Gromov sur lequel f opère naturellement comme une isométrie locale. La dynamique induite sur son bord à l'infini est canoniquement conjuguée à celle de f. Ceci implique que X hérite de métriques pour lesquelles f vérifie le Principe de l'Ascenseur Conforme: des boules arbitrairement petites peuvent être agrandies à une taille macroscopique avec distorsion bornée. Cette propriété est conservée par conjugaison par un homéomorphisme quasisymétrique, et nous appelons les transformations top. CXC définies sur un espace métrique qui la vérifient métriquement dilatantes et grossièrement conformes (CXC). Les résultats suivants approfondissent l'analogie entre groupes kleinéens et fractions rationnelles en l'étendant en des analogies entre dynamiques métriquement CXC et groupes hyperboliques. Nous donnons de nombreux exemples et plusieurs applications. En particulier, nous fournissons une nouvelle interprétation de la caractéristation de fractions rationnelles parmi les transformations topologiques et des exemples de Lattès généralisés parmi les transformations uniformément quasirégulières. En utilisant des techniques qui permettent de construire des mesures quasiconformes pour les groupes hyperboliques, on établit aussi l'existence, l'unicité et des propriétés de régularité métrique de la mesure d'entropie maximale de ces applications.

Mots-clefs : Analyse sur les espaces métriques, application quasisymétrique, jauge conforme, fraction rationnelle, groupe kleinéen, dictionnaire, hyperbolicité au sens de Gromov, entropie

Abstract:
Motivated by the dynamics of rational maps, we introduce a class of topological dynamical systems satisfying certain topological regularity, expansion, irreducibility, and finiteness conditions. We call such maps ``topologically coarse expanding conformal'' (top. CXC) dynamical systems. Given such a system f: X X and a finite cover of X by connected open sets, we construct a negatively curved infinite graph on which f acts naturally by local isometries. The induced topological dynamical system on the boundary at infinity is naturally conjugate to the dynamics of f. This implies that X inherits metrics in which the dynamics of f satisfies the Principle of the Conformal Elevator: arbitrarily small balls may be blown up with bounded distortion to nearly round sets of definite size. This property is preserved under conjugation by a quasisymmetric map, and top. CXC dynamical systems on a metric space satisfying this property we call ``metrically CXC''. The ensuing results deepen the analogy between rational maps and Kleinian groups by extending it to analogies between metric CXC systems and hyperbolic groups. We give many examples and several applications. In particular, we provide a new interpretation of the characterization of rational functions among topological maps and of generalized Lattès examples among uniformly quasiregular maps. Via techniques in the spirit of those used to construct quasiconformal measures for hyperbolic groups, we also establish existence, uniqueness, naturality, and metric regularity properties for the measure of maximal entropy of such systems.

Keywords: Analysis on metric spaces, quasisymmetric map, conformal gauge, rational map, Kleinian group, dictionary, Gromov hyperbolic, entropy

Class. math. : 53C23; 30C65, 37B99, 37D20, 37F15, 37F20, 37F30, 54E40


ISBN : 978-2-85629-266-2
ISSN : 0303-1179
Publié avec le concours de : CNRS