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Bergman kernels and - symplectic reduction
Xiaonan Ma - Weiping Zhang
Astérisque 318 (2008), viii+154 pages
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Résumé :
Noyaux de Bergman et réduction symplectique
Nous généralisons des résultats récents sur le développement asymptotique du noyau de Bergman au cadre de quantification géométrique, et établissons une propriété d'identification asymptotique symplectique. Plus précisement, nous étudions le développement asymptotique du noyau de Bergman G-invariant de l'opérateur de Dirac spinc associé à une puissance tendant vers l'infini d'un fibré en droites positif sur une variété symplectique compacte munie d'une action hamiltonienne d'un groupe de Lie compact connexe. Nous développons aussi une façon de calculer les coefficients du développement, et nous calculons les premiers termes, en particulier, nous obtenons la courbure scalaire de la réduction symplectique à partir du noyau de Bergman G-invariant sur l'espace total. Ces résultats généralisent les résultats correspondants dans le cas non-équivariant, qui ont joué un rôle crucial dans un travail récent de Donaldson sur la stabilité de variétés projectives, au cadre de quantification géométrique.
Comme application de notre développement, nous établissons aussi des propriétés de type opérateur de Toeplitz en limite semi-classique dans le cadre de quantification géométrique.
Notre méthode est inspirée par la théorie de l'indice local, en particulier les techniques de localisation analytique développées par Bismut-Lebeau.
Mots clefs : Noyau de Bergman, réduction symplectique, opérateur de Dirac, quatification de Berezin-Toeplitz.
Abstract:
We generalize several recent results concerning the asymptotic expansions of Bergman kernels to the framework of geometric quantization and establish an asymptotic symplectic identification property. More precisely, we study the asymptotic expansion of the G-invariant Bergman kernel of the spinc Dirac operator associated with high tensor powers of a positive line bundle on a symplectic manifold admitting a Hamiltonian action of a compact connected Lie group G. We also develop a way to compute the coefficients of the expansion, and compute the first few of them, especially, we obtain the scalar curvature of the reduction space from the G-invariant Bergman kernel on the total space. These results generalize the corresponding results in the non-equivariant setting, which have played a crucial role in the recent work of Donaldson on stability of projective manifolds, to the geometric quantization setting.
As another kind of application, we establish some Toeplitz operator type properties in semi-classical analysis in the framework of geometric quantization.
The method we use is inspired by Local Index Theory, especially by the analytic localization techniques developed by Bismut and Lebeau.
Key words: Bergman kernel, Symplectic reduction, Dirac operator, Berezin-Toeplitz quantization.
Class. math. : 32A25, 58J37, 53D50, 53D20, 32L10.
ISBN :
978-285629-255-6
ISSN :
0303-1179
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique
